CM a là số chính phương, đề như thế này

Ta có: 

\(a=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4\)

\(a=\left[\left(x-y\right)\left(x-4y\right)\right]\left[\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\right]+y^4\)

\(a=\left(x^2-5xy+4y^2\right)\left(x^2-5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(a=\left[\left(x^2-5xy+5y^2\right)-y^2\right]\left[\left(x^2-5xy+5y^2\right)+y^2\right]+y^4\)

\(a=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)

\(a=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\) là SCP

=>đpcm

Chứng minh là một SCP chứ gì (:

A = ( x - y )( x - 2y )( x - 3y )( x - 4y ) + y⁴

= [ ( x - y )( x - 4y ) ][ ( x - 2y )( x - 3y ) ] + y⁴

= ( x² - 5xy + 4y² )( x² - 5xy + 6y² ) + y⁴ (1)

Đặt t = x² - 5xy + 5y²

(1) <=> ( t - y² )( t + y² ) + y⁴

       = t² - y⁴ + y⁴

       = t² = ( x² - 5xy + 5y² )²

Vì x, y ∈ Z => x² ∈ Z , -5xy ∈ Z , 5y² ∈ Z

=> ( x² - 5xy + 5y² )² là một SCP

=> đpcm

Ta có: \(ab=cd\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{d}=\frac{c}{b}\)

Đặt \(\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k\) \(\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=dk\\c=bk\end{cases}}\)

Ta có: \(a^5+b^5+c^5+d^5\)

\(=d^5k^5+b^5+b^5k^5+d^5\)

\(=k^5\left(d^5+b^5\right)+\left(d^5+b^5\right)\)

\(=\left(k^5+1\right)\left(d^5+b^5\right)\) là hợp số

=> đpcm

Gọi \(\left(a,c\right)=k\), ta có \(a=ka',c=kc'\)và \(\left(a',c'\right)=1\)

Thay vào ab = cd được \(ka'b=kc'd\)nên \(a'b=c'd\)(*)

\(\Rightarrow a'b⋮c'\)mà\(\left(a',c'\right)=1\)nên \(b⋮c'\). Đặt \(b=c't\left(t\inℕ^∗\right)\), thay vào (*) được \(a'c't=c'd\Rightarrow a't=d\)

Do đó \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a'^5+c'^5t^5+k^5c'^5+a'^5t^5\)\(=a'^5\left(k^5+t^5\right)+c'^5\left(k^5+t^5\right)=\left(a'^5+c'^5\right)\left(k^5+t^5\right)\)

Do a', c', k, t là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)

a) 3xy² + x²y² - 5x²y = xy( 3y + xy - 5x )

b) 8m³ + 12m² + 6m + 1 = ( 2m + 1 )³

Làm 1 cách là đủ rồi mà (: 6 cách thì đến bao giờ :v

a) x² + x - 6 = x² - 2x + 3x - 6 = x( x - 2 ) + 3( x - 2 ) = ( x - 2 )( x + 3 )

b) x² - 4x + 3 = x² - x - 3x + 3 = x( x - 1 ) - 3( x - 1 ) = ( x - 1 )( x - 3 )

c) x² + 5x + 4 = x² + x + 4x + 4 = x( x + 1 ) + 4( x + 1 ) = ( x + 1 )( x + 4 )

d) x² - x - 6 = x² + 2x - 3x - 6 = x( x + 2 ) - 3( x + 2 ) = ( x + 2 )( x - 3 )

e) 2x² + 5x + 3 = 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x( x + 1 ) + 3( x + 1 ) = ( x + 1 )( 2x + 3 )

g) 2x² - 7x + 3 = 2x² - 6x - x + 3 = 2x( x - 3 ) - ( x - 3 ) = ( x - 3 )( 2x - 1 )

h) 3x² + 10x - 8 = 3x² + 12x - 2x - 8 = 3x( x + 4 ) - 2( x + 4 ) = ( x + 4 )( 3x - 2 )

k) \(\frac{1}{2}x^2-\frac{19}{6}x+1=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x-3x+1=\frac{1}{2}x\left(x-\frac{1}{3}\right)-3\left(x-\frac{1}{3}\right)=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x-3\right)\)

bị đòi làm 6 cách :')

E = 2x² + 3x + 8 

= 2( x² + 3/2x + 9/16 ) + 55/8

= 2( x + 3/4 )² + 55/8 ≥ 55/8 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -3/4

=> MinE = 55/8 <=> x = -3/4