Ta có: \(\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\)

\(=x^2-2x+1+x^2-6x+9\)

\(=2x^2-8x+10\)

\(=2\left(x^2-4x+4\right)+2\)

\(=2\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy Min = 2 khi x = 2

                                                               Bài giải

Đặt \(A=\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2=x^2-2x+1+x^2-6x+9=2x^2-8x+10\)

                                              \(=2\left(x^2-4x+4\right)+2=2\left(x-2\right)^2+2\ge2\forall x\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left(x-2\right)^2=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=2\)

Vậy \(Min_A=2\text{ khi }x=2\)

                                                          Bài giải

Đặt \(A=x^2-4x+6=x^2-2\cdot2x+2^2+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow\text{ Với }x\ge3\text{ }\text{thì }A_{min}\text{ khi }\left(x-2\right)^2_{min}\Rightarrow\text{ }x\text{ nhỏ nhất }\Rightarrow\text{ }x=3\)

Vậy với \(x=3\text{ thì }Min_A=3\)

Bài này tìm được min thôi

Ta có: \(2x^2+x=2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right)-\frac{1}{8}=2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}\ge-\frac{1}{8}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\)

Vậy Min = -1/8 khi x = -1/4

| x - 3 | = x - 2

| x - 3 | ≥ 0 <=> x - 3 ≥ 0 <=> x ≥ 3

Vậy để giải phương trình trên ta quy về giải hai phương trình sau :

1 | x - 3 | = x - 2 với x < 3

Với x < 3

pt <=> -( x - 3 ) = x - 2

    <=> 3 - x = x - 2

    <=> -x - x = -2 - 3

    <=> -2x = -5

    <=> x = 5/2 ( không thỏa mãn )

2. | x - 3 | = x - 2 với x ≥ 3

Với x ≥ 3

pt <=> x - 3 = x - 2

    <=> x - x = -2 + 3

     <=> 0 = 1 ( vô lí )

=> Phương trình vô nghiệm 

                                                             Bài giải

\(\left|x-3\right|=x-2\)

* Với x - 2 < 0 => x < 2 thì :

\(x-3=2-x\)

\(2x=5\)

\(x=\frac{5}{2}=2,5>2\text{ ( loại )}\)

* Với \(x-2\ge0\text{ }\)=> \(x\ge2\) thì : 

\(x-3=x-2\)

\(3=2\text{ ( Vô lý ) }\)

Vậy \(x\in\left\{\varnothing\right\}\)

b) Ta có: MA=MB, MH//AD nên HB=HD

Tương tự ta có: KA=KC

Gọi N là trung điểm của CD thì NK//AD

NH//BC(tính chất đường trung bình của tam giác) => NK//MH, NH//MK do đó: HO vuông góc với NK, KO vuông góc với NH.

tam giác NHK có O là trực tâm nên NO vuông góc với HK.

HK là đoạn thẳng nối hai đường chéo của hình thang nên HK//CD => NO vuông góc với CD do đó NO là đường trung trực của CD. Vậy OC=OD

Gọi dạng tổng quát của mọi số tự nhiên là b \(\left(b\inℕ\right)\)

Ta có: \(b^3-b=b\left(b^2-1\right)=b\left(b+1\right)\left(b-1\right)\)

Tích 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6 => \(b^3-b⋮6\)

=> \(b^3-b=-6c\left(c\inℤ\right)\Rightarrow b=b^3+6c\)

Vậy mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng b³ + 6c trong đó b và c là các số nguyên.

Ta có: \(b^3+6c=b.b.b+\left(c+c+c+c+c+c\right)\)

Với \(b>c\Rightarrow c=\frac{1}{2}b\)

Với \(b< c\Rightarrow b=\frac{1}{2}c\)

- Không thể xảy ra trường hợp b=c

=> đpcm