Lấy pt(1) nhân với pt(2) ta được: 

\(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=2x^3\Leftrightarrow x^3+y^3=2x^3\Leftrightarrow x^3=y^3\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt (1) của hệ ta được: \(x^2+x^2-x.x=2\Leftrightarrow x^2=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2}\Rightarrow y=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\Rightarrow y=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Vậy ...

biet thi tu lam

\(x^2+y+\frac{3}{4}\ge x^2+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{4}}+\left(y+\frac{1}{2}\right)\ge x+y+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(x+y+\frac{1}{2}\right)^2=\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)+\left(y+\frac{1}{4}\right)\right]^2\ge4\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)\)

\(=\left(2x+\frac{1}{2}\right)\left(2y+\frac{1}{2}\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(PT\Leftrightarrow x^2y^2+y^3+x^3+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+xy+\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{9}{16}=4xy+x+y+\frac{1}{4}.\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\frac{3}{4}\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-3xy+\frac{5}{16}=0\)

Đặt \(x+y=a,xy=b\)

\(\Rightarrow b^2+a^3-3ab+\frac{3}{4}\left(a^2-2b\right)+\frac{a}{4}-3b+\frac{5}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow16b^2+16a^3-48ab+12a^2-24b+4a-48b+5=0\)

\(\Leftrightarrow16b^2+16a^3-48ab+12a^2-72b+4a+5=0\)

Đến đây phân tích thành nhân tử hay sao ấy, chưa nghĩ ra :P

Ta có: \(B=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+5\left(\sqrt{x}+1\right)+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\)

do đó \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{7}{\sqrt{x}+1}\)

Vì \(x\ge0\Rightarrow0< \frac{7}{\sqrt{x}+1}\le7\)

Để P nguyên thì \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}\in Z\)

do đó \(\frac{7}{\sqrt{x}+1}\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}\)

Đến đây xét từng TH là  ra

rút gọn B ta có B=\(\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\)\(\Rightarrow\)\(AB=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}\in Z\)

=\(1+\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Vì 1\(\in Z\) nên để P thuộc Z thì \(\frac{5}{\sqrt{x}+1}\in Z\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\inƯ\left(5\right)=\pm1;\pm5\)

Đến đây thì ez rồi

Ta có \(4xy^2-3x-3y^2=1\Leftrightarrow y^2\left(4x-3\right)=3x+1\Leftrightarrow y^2=\frac{3x+1}{4x-3}\inℤ\left(do4x-3\ne0\right)\)

\(\Rightarrow3x+1⋮4x-3\Rightarrow4\left(3x+1\right)⋮4x-3\Leftrightarrow3\left(4x-3\right)+13⋮4x-3\Leftrightarrow13⋮4x-3\)

\(\Rightarrow4x-3\inƯ\left(13\right)=\left\{\pm1,\pm13\right\}\Leftrightarrow4x\in\left\{-10,2,4,16\right\}\Rightarrow x\in\left\{1,4\right\}\)(do x thuộc Z)

Với \(x=1\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm2\left(tm\right)\)

Với \(x=4\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\left(tm\right)\)

4xy²−3x−3y²=14xy²−3x−3y²=1

⇔ y²(4x−3)−0,75(4x−3)=3,25y²(4x−3)−0,75(4x−3)=3,25

⇔ (4x−3)(y²−0,75)=3,25(4x−3)(y²−0,75)=3,25

⇔ (4x−3).(4y²−3)=13=1.13=13.1=(−1).(−13)=(−13).(−1)(4x−3).(4y²−3)=13=1.13=13.1=(−1).(−13)=(−13).(−1)

Ta có bảng giá trị

4x-3     |     1     |     13     |     -1     |     -13     |

x          |      1    |      4      |      /      |       /       |

4y²-3    |    13    |      1      |    -13    |       -1     |

y          |    ±2    |      ±1    |      /      |       /       |

Vậy ...

2) Em nhầm đề ca/b+1

Ta có:

VT = \(\frac{ab}{c+a+b+c}+\frac{bc}{a+a+b+c}+\frac{ac}{b+a+b+c}\)

=\(\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

 =\(\frac{ab}{4}.\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

=\(\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=>  a= b = c =1/3

Câu 1: giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ