\(=1.\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)...\left(2^{256}+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)...\left(2^{256}+1\right)\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)...\left(2^{256}+1\right)=\left(2^4-1\right)...\left(2^{256}+1\right)=....=2^{512}-1\)

A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
= (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
= (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
................
= [(2256)2 –1] + 1
= 2512

2n^2+2n-1 =n(2n+1) + n-1 chia hết chi 2n+1 nếu và chỉ nếu n-1 chia hết cho 2n+1 

suy ra n=1

hoặc n=-1, -2

Ta có : n² +  n + 1

= n² + 2n - n - 2 + 3

= n ( n + 2 ) - ( n + 2 ) + 3

= ( n - 1 ) ( n + 2 ) + 3

Vì ( n - 1 ) ( n + 2 )\(⋮\)n + 2 nên 3\(⋮\)n + 2

=> n + 2\(\in\){ \(\pm\)1 ; \(\pm\)3 }

=> n\(\in\){ - 5 ; - 3 ; - 1 ; 1 } ( tm n\(\in\)Z )

Ta có a + b \(⋮\)3

=> (a + b)³ \(⋮\)3³

=> (a + b)³ \(⋮\)3²

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) \(⋮\)9 (1)

Vì a + b \(⋮\)3

=> 3ab(a + b) \(⋮\)9 (2)

Từ (1)(2) => a³ + b³ + 3ab(a + b) - 3ab(a + b) \(⋮\)9

=> a³ + b³ \(⋮\)9 (đpcm)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Mà \(a+b⋮3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\Rightarrow⋮9\)

=> đpcm

Đặt n² + 3 = k² ( k ∈ N )

=> k² - n² - 3 = 0

=> k² - n² = 3

=> ( k - n )( k + n ) = 3

Xét các trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}k-n=1\\k+n=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=1\\n=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

2. \(\hept{\begin{cases}k-n=-1\\k+n=-3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=-2\\n=-1\end{cases}\left(ktm\right)}\)

3. \(\hept{\begin{cases}k-n=3\\k+n=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=2\\n=-1\end{cases}\left(tm\right)}\)

4. \(\hept{\begin{cases}k-n=-3\\k+n=-1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=-2\\n=1\end{cases}\left(ktm\right)}\)

Vậy với n ∈ { -1 ; 1 } thì n² + 3 là một số chính phương

a) x²y³ - 1/2x⁴y⁸ = x²y³( 1 - 1/2x²y⁵ )

b) a²b⁴ + a³b - abc = ab( ab³ + a² - c )

c) 7x( y - 4 )² - ( y - 4 )³ = ( y - 4 )²( 7x - y + 4 )

d) -x²y²z - 6x³y - 8x⁴z² - x²y²z² = -x²( y²z + 6xy + 8x²z² + y²z² )

e) x³ - 4x² + x = x( x² - 4x + 1 )

Không rút gọn được nữa

a) Ta có : 2005.2007 = (2006 - 1)(2006 + 1) = 2006² - 1² = 2006² - 1 ( cái khúc này sửa : 2005.2001 thành 2005.2007)

Mà B = 2006²

=> 2006² - 1 < 2006² 

=> A < B

b) Ta có : B = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B =  (2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2⁸ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) = (2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1) = 2³² - 1

Mà C = 2³²

=> B < C 

c) Tương tự như câu b

a) (x - 2)² - (x + 3) - 4(x + 1) = 5

=> (x² - 4x + 4) - (x + 3) - 4x - 4 = 5

=> x² - 4x + 4 - x - 3 - 4x - 4 = 5

=> x² + (-4x - x - 4x) + (4 - 3 - 4) = 5

=> x² - 9x - 3 = 5

=> x² - 9x - 3 - 5 = 0

=> x² - 9x - 8 = 0

=> [x² - 2.x.9/2 + (9/2)² ] - 113/4 = 0

=> (x - 9/2)² - 113/4 = 0

=> (x - 9/2)² - \(\left(\sqrt{\frac{113}{4}}\right)^2\)= 0

=> \(\left(x-\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{113}{4}}\right)\left(x+\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{113}{4}}\right)=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}x-\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{113}{4}}=0\\x+\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{113}{4}}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9+\sqrt{133}}{2}\\x=-\frac{9+\sqrt{133}}{2}\end{cases}}\)

Nếu không muốn nghiệm xấu như thế này thì bạn để vô nghiệm

b) (2x - 3)(2x + 3) - (x - 1)² - 3x(x - 5) = -44

=> (2x)² - 9 - (x² - 2x + 1) - 3x² + 15x = -44

=> 4x² - 9 - x² + 2x - 1 - 3x² + 15x = -44

=> (4x² - x² - 3x²) + (2x + 15x) + (-9 - 1) = -44

=> 17x  - 10 = -44

=> 17x = -34

=> x = -2

Vậy x = -2