Với n= 3 ,  ,chọn x₃ =y₃ =1

Giả sử với n \(\ge\)3 , tồn tại cặp số nguyên dương lẻ ( x_n ,y_n ) sao cho 7.x_n² + y²_n= 2ⁿ.Ta chứng minh mỗi cặp 

\(\left(X=\frac{x_n+y_n}{2},Y=\frac{\left|7.x_n-y_n\right|}{2}\right)\),

\(\left(X=\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2},Y=\frac{7.x_n\pm y_n}{2}\right)^2=2.\left(7.x_n^2+7_n^2\right)=2.2^n=2^{n+1}\)

Vì x_n,y_n lẻ nên x_n = 2a+1 ; y_n = 2k + 1 ( a,k \(\inℤ\)) 

\(\Rightarrow\frac{x_n+y_n}{2}=k+1+1\)và \(\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2}=\left|k-1\right|.\)

Điều đó chứng tỏ rằng một trong các số \(\frac{x_n+y_n}{2}.\frac{\left|x_n+y_n\right|}{2}\)là lẻ .Vì vậy với n + 1 tồn tại các số tự nhiên lẻ x_n+1 và y_n+1 thỏa mãn 7.x²_n+1 + y²_n+1 =2ⁿ⁺¹=> đpcm 

a,b,c là số nguyên,do đó: \(a^3+b^3+c^3⋮9\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮9\)

Ta có: \(3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮3\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3⋮9\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮3\)

Từ đó suy ra tồn tại 2 trong 3 số có tổng chia hết cho 3, suy ra số còn lại cũng chia hết cho 3

Vậy \(abc⋮3\)

Ta có: 

 \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c-1\right)⋮3\)

mà \(a^3+b^3+c^3⋮9\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)

=> \(a+b+c⋮3\)

Do đó: \(a^3+b^3+c^3-3\left(abc\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\right]\)\(⋮9\)

=> \(3abc⋮9\)=> \(abc⋮3\)

Gọi C là điểm chính giữa cung AB của nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm bất kì trên cung BC. Kẻ CH vuông góc với AM tại H, I là giao của OH và BC, MI cắt nửa đường tròn tâm O tại D

a. CMR: CM // DB

b. Xác định vị trí của M để D,H,B thẳng hàng

c. E là giao của AD và MB. CM: EC//DM

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(x^5+\frac{1}{x}+1+1\ge4\sqrt[4]{x^5.\frac{1}{x}}=4x\)

Chứng minh tương tự: \(y^5+\frac{1}{y}+1+1\ge4\sqrt[4]{y^5.\frac{1}{y}}=4y\)

\(z^5+\frac{1}{z}+1+1\ge4\sqrt[4]{z^5.\frac{1}{z}}=4z\)

\(\Rightarrow T+6\ge4\left(x+y+z\right)=12\)

\(\Leftrightarrow T\ge6\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1