\(\sqrt{-x^2-2x+15}\le x^2+2x+a\)

Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+15}=b\). Vì \(x\in[-5;3]\) nên \(b\in[0;4]\)

Bất phương trình trở thành \(b\le-b^2+15+a\Leftrightarrow f\left(b\right)=-b^2-b+a+15\ge0\left(1\right)\)

Ycbt trở thành: Tìm a để BPT (1) nghiệm đúng \(\forall b\in[0;4]\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(0\right)\ge0\\f\left(4\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+15\ge0\\a-5\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow a\ge5\)

Thôi mn ạ mk lm ra r nha

câu 1

\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy-2y^2-5\left(2x-y\right)=0\left(1\right)\\x^2-2xy-3y^2+15=0\left(2\right)\end{cases}}\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)-5\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2x\\x=5-2y\end{cases}}\)

hpt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\x^2-2x.2x-3\left(2x\right)^2+15=0\end{cases}\left(3\right)}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=5-2y\\\left(5-2y\right)^2-2\left(5-2y\right)y-3y^2+15=0\end{cases}\left(4\right)}\)

hpt (3) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\-15x^2+15=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1;y=2\\x=-1;y=-2\end{cases}}}\)

hpt(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5-2y\\5y^2-30y+40=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2;x=1\\y=4;x=-3\end{cases}}}\)

Vậy hpt đã cho có nghiệm (1;2),(-1;-2),(-3;4)

\(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{cases}}\left(ĐK:x\ne0;y\ne0\right)\).

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\\\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)=9\end{cases}}\).

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a,y+\frac{1}{y}=b\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2-2+b^2-2=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}}\).

Đặt \(a+b=C,ab=D\)thì \(\left(a+b\right)^2=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2D=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2=C^2-2D\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}C=5\\C^2-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\25-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\D=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\\left(5-b\right)b=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\-b^2+5b-6=0\end{cases}}\).

Xét phương trình \(\left(b-3\right)\left(b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=3\\b=2\end{cases}}\).

Với \(b=3\)thì \(a=2\)

Với \(b=2\)thì \(a=3\)

- Với \(b=3\)và \(a=2\):

+ Với \(b=3\)thì \(y+\frac{1}{y}=3\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{3y}{y}\)

\(\Rightarrow y^2+1=3y\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\y-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=2\)thì \(x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{2x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=2x\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

- Với \(b=2\)và \(a=3\):

+ Với \(b=2\)thì \(y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{2y}{y}\).

\(\Rightarrow y^2+1=2y\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y-1=0\Leftrightarrow y=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=3\)thì \(x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{3x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=3x\).

\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)..

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy hệ phương trình có tậpnghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{1;\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right\};\left\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2};1\right\}\).

\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)}\)

\(=\sqrt{x+y+2}\le\sqrt{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=2cot2\alpha\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{cot\alpha}\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)cot^2\alpha-sin^2\alpha cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-1=cot^2\alpha-1\)

Đẳng thức cuối cùng đúng, mà ta biến đổi tương đương nên đẳng thức ban đầu đúng. Do đó ta có đpcm. 

Mình mong các bạn giải giúp mình bài này bởi đây là một bài khó kinh khủng =((

Các bạn nhớ chỉ dùng Cauchy hay bunnha hay j đó th nhe đừng dùng đạo hàm hay định lý karamata =((

đây là 1 câu đó 2000 năm chỉ có nhà vật lí thomas anhsan mới vẽ được

tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình sau \(\sqrt{x^2+2x+m}=2x+1\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\sqrt{-3x+2}+1< x\) (ĐKXĐ: \(D=(-\infty;\frac{2}{3}]\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-3x}< x-1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1>0\\2-3x< x^2-2x+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x^2+x-1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(h\right)x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\)

Kết hợp ĐKXĐ suy ra BPT vô nghiệm.