a)Tam giác MAO vuông tại A 

=> MO² = AO² + AM²

=> 7² = 5² + AM²

=> AM² = 24

=> AM = \(2\sqrt{6}\)(cm)

b) Ta có: 

OM - ON = MN

=> MN = 7-5 = 2(cm)

=> MP = OP + OM =  5 + 7 = 12 (cm)

=> MP.MN = 12.2 = 24 

     MA² = 24

Vậy MA² = MP.MN

Áp dụng Delta '

\(a=1\) 

\(b=-2\left(m+2\right)\Rightarrow b'=\frac{-2\left(m+2\right)}{2}=-m-2\)

\(c=6m+3\)

\(\Rightarrow\Delta'=\left(-m-2\right)^2-1.\left(6m+3\right)\)

            \(=m^2+4m+4-6m-3\)

             \(=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

phương trình bằng 111111111 + 111111111 = 222222222

http://hocdethi.tranganhnam.xyz/2013/01/tim-m-e-phuong-trinh-co-4-nghiem.html

Bạn có thể tham khảo từ web này nhé

Nửa chu vi: \(360\div2=180\left(m\right)\)

Gọi x là chiều rộng khu vui chơi (m) ( 0<x<180)

Vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên kí hiệu là 3x

Do đó : \(\Rightarrow3x+x=180\\ \Leftrightarrow4x=180\\ \Leftrightarrow x=180\div4\\ \Leftrightarrow x=45\left(m\right)\)

Nên chiều rộng là 45m

        chiều dài là 45.3=135(m)

Vậy diện tích khu vui chơi hcn là \(135\times45=6075\left(m^2\right)\)

Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng khu vui chơi hình chữ nhật

Theo đề bài, ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right).2=360\\2a-3b=60\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b=360\left(1\right)\\2a-3b=60\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1)-(2) \(\Rightarrow5b=300\Rightarrow b=60\left(m\right)\)

\(\Rightarrow a=\frac{360}{2}-60=120\left(m\right)\)

Diện tích khu vui chơi hình chữ nhật là:

\(S=a.b=120.60=7200\left(m^2\right)\)

a) thay m=-1 vào x²(2m-1)x-m=0 ta có:

x²+(-3)x+1=0\(\Delta\)=5

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

b) A=\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)

Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1x_2=-m\end{cases}}\)

=> \(A=\left(1-2m\right)^2-3\left(-m\right)=4m^2-4m+1+3m=4m^2-m+1\)

\(\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}\ge2\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}}\ge2\sqrt[6]{2+a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}}\)

đến đây thì ta thấy từ giả thuyết có \(a+b=\frac{2}{3}\Rightarrow a^2b^2\le\frac{1}{81}\)

Xét:

\(a^2b^2+\frac{1}{a^2b^2}=\left(a^2b^2+\frac{1}{6561a^2b^2}\right)+\frac{6560}{6561a^2b^2}\ge\frac{6562}{81}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[3]{b^2+\frac{1}{b^2}}\ge2\sqrt[3]{\frac{82}{9}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{3}\)