I(3;1) (C) A(2;2) H B C d

Ta thấy \(AI^2=2< R^2\)=> A nằm trong đường tròn (C)

Gọi BC là một dây cung bất kì đi qua A, H là trung điểm BC

Ta có \(BC^2=4HB^2=4\left(R^2-HI^2\right)\ge4\left(R^2-AI^2\right)=4\left(9-2\right)=28\)(không đổi)

Vậy độ dài nhỏ nhất của dây BC bằng \(2\sqrt{7}\), đạt được khi d vuông góc với IA

Đường thẳng d: đi qua \(A\left(2;2\right)\), VTPT \(\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right)\Rightarrow d:x-y=0\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x+2}{x-4}\le0\\x-2< 0\end{cases}}\), điều kiện \(x\ne4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\le x< 4\\x< 2\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x< 2\)

\(S=[-2;2)\)

\(A\left(x_a;y_a\right)\Rightarrow\overrightarrow{IA}=x_a\overrightarrow{i}+y_a\overrightarrow{j}\)

\(B\left(x_b;y_b\right)\Rightarrow\overrightarrow{IB}=x_b\overrightarrow{i}+y_b\overrightarrow{j}\)(Với \(\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\)là hai vector đơn vị của trục Ox,Oy)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA}=\left(x_b-x_a\right)\overrightarrow{i}+\left(y_b-y_a\right)\overrightarrow{j}\)

Vậy tọa độ của vector AB là \(\overrightarrow{AB}=\left(x_b-x_a;y_b-y_a\right).\)

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:

\(\frac{a}{9}\)+\(\frac{1}{a}\)>= 2.\(\frac{1}{3}\)=\(\frac{2}{3}\)

=> a+\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a}{9}\)+\(\frac{8a}{9}\)+\(\frac{1}{a}\)>= \(\frac{2}{3}\)+\(\frac{8a}{9}\)>= \(\frac{2}{3}\)+\(\frac{8.3}{9}\)=\(\frac{10}{3}\)

Vậy GTNN của P là: \(\frac{10}{3}\), tại a=3