hình tự vẽ nha. lười quá

Kẻ trung tuyến CM,DN của \(\Delta ACD\)( M,N \(\in\)AB,AC )

AM và DN cắt nhau ở E. gọi Giao điểm của CD và AO là I

dễ dàng suy ra I là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Ta có : \(\frac{CE}{CM}=\frac{CI}{CD}=\frac{2}{3}\Rightarrow EI//AB\)

Mà \(OD\perp AB\)nên \(EI\perp OD\)( 1 )

Lại có : \(OI\perp BC\)mà BC // DN nên \(OI\perp DN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra I là trực tâm của \(\Delta ODE\), do đó OE \(\perp\)DI 

Hay \(OE\perp CD\)

\(BT=\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-b^4a^2+c^4a^2-c^4b^2}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^2c^2\left(b^2-c^2\right)-\left(b^4-c^4\right)a^2}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-a\left(b+c\right)\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^4+b^2c^2-a^2\left(b^2+c^2\right)\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

\(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)}\)

= \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-c^2b-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-c^4b^2-a^2\left(a^4-b^4\right)}\)

= \(\frac{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-a^2\right)}\)

= \(\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

Phương trình có hai nghiệm fan biệt <=> \(\Delta>0\)

<=> \(\left(m-1\right)^2+4m>0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2>0\)

<=> \(m\ne-1\)

Áp dụng viet ta có: \(x_1x_2=-m;x_1+x_2=m-1\)

Khi đó; 

\(x_1\left(3-x_2\right)+20\ge3\left(3-x_2\right)\)

<=> \(3\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+11\ge0\)

=>\(3\left(m-1\right)+m+11\ge0\)

<=> \(m\ge-2\) 

Ta có: \(\Delta=\left(m-1\right)^2+4m=\left(m+1\right)^2\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁;x₂ khi \(\Delta\)>0 <=> m\(\ne\)-1

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+1\\x_1\cdot x_2=-m\end{cases}}\)

Theo bài ra ta có:

\(x_1\left(3-x_2\right)+20\ge3\left(3-x_2\right)-x_1x_2\ge-11\)

\(\Leftrightarrow3\left(m-1\right)+m\ge-11\)

<=> \(4m\ge-8\Leftrightarrow m\ge-2\)

Vậy \(m\ge-2;m>-1\)thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ta có: 

\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

Cộng  vế theo vế:

=> \(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Cách 1:

Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh

\(1-\frac{a}{2b+b+c}+1-\frac{b}{a+2b+c}+1-\frac{c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a+b+c}+\frac{a+b+c}{a+2b+c}+\frac{a+b+c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\ge9\)

Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c => x+y+z=4(a+b+c)

Khi đó đẳng thức trên trở thành

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2xz}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Cách 2:

Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c

=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{2x-y-z}{4}\\b=\frac{3y-x-z}{4}\\c=\frac{3z-x-y}{4}\end{cases}}\)

BĐT cần chứng minh được viết lại thành

\(\frac{3x-y-z}{4x}+\frac{3y-x-z}{4y}+\frac{3z-x-z}{4z}\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\right)\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2zx}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c

x² + m - 2= mx + xx

= xx- xx = mx + 2 - m

0= m(x-1) + 2

Suy ra m(x-1)= -2

Từ đó ta lập bảng thì ta thu được các giá trị khác biệt của x-1 suy ra ta có luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Ta có: \(\frac{c}{a}=-\frac{2}{2}=-1< 0\)

=> Phương trình luôn có 2 ngiệm trái dấu \(x_1;x_2\)

Theo định lí viet: \(x_1x_2=-1;x_1+x_2=\frac{1-m}{2}\)

Ta có: \(\left(x_1+\frac{1}{2}x^2_1-x^3_1\right)\left(x_2+\frac{1}{2}x^2_2-x^3_2\right)=4\)

<=> \(x_1x_2\left(x_1^2-\frac{1}{2}x_1-1\right)\left(x_2^2-\frac{1}{2}x_2-x_2\right)=4\)

<=> \(\left(2x_1^2-x_1-2\right)\left(2x_2^2-x_2-2\right)=-16\)

<=> \(\left(2x_1x_2\right)^2-2x_1^2x_2-4x_1^2-2x_1x_2^2+x_1x_2+2x_2-4x_2^2+2x_2+4=-16\)

<=> \(4+2x_1-4x_1^2+2x_2-1+2x_2-4x_2^2+2x_2+4=-16\)

<=> \(4x_1^2+4x_2^2-4x_1-4x_2=23\)

<=> \(4\left(x_1+x_2\right)^2-4\left(x_1+x_2\right)=15\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{5}{2}\\x_1+x_2=-\frac{3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1-m}{2}=\frac{5}{2}\\\frac{1-m}{2}=-\frac{3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-4\\m=4\end{cases}}\)

Vậy:.... 

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4.2.\left(-2\right)=\left(m-1\right)^2+16>0\)

nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt 

Mình ms học lp 6 nên sai thông cảm

Xác định : a = 2 ; b = m-1 ; c = -2

Ta có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(m-1\right)^2-4.2.\left(-2\right)\)

\(=\left(m-1\right)^2+16\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)^2\ge0\\16>0\end{cases}=>\left(m-1\right)^2}+16>0\)

Nên pt có 2 nghiệm phân biệt 

câu này có liên quan vs câu hồi nãy k bạn

Gọi A(x_A;y_A) là điểm thuộc đồ thị (P) và có tung độ gấp đôi hoành độ

=> \(y_A=2x_A\)nên ta có: \(2x_A=x_A^2\)

\(\Leftrightarrow x_A^2-2x_A=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_A=0\\x_A-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_A=0\Rightarrow y_A=0\\x_A=2\Rightarrow y_A=4\end{cases}}}\)

(P) đi qua A(-1;1)

thay x=-1 ; y =1 vào (P) :

<=> 1=a . (-1)² <=> a= 1

(P) : y=x²