Do 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸3\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[3\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải tồn tại 1 số chia hết cho 3.

 Tương tự, một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸4\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[4\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải có 1 số chia hết cho 4.

 Từ 2 điều trên, kết hợp với \(\left(4,3\right)=1\), thu được \(xy⋮3.4=12\). Ta có đpcm.

 Đặt \(a+b=x,b+c=y,c+a=z\) với \(x,y,z>0\). Ta có:

\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=2\)

 \(\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}=2-\dfrac{1}{y+1}-\dfrac{1}{z+1}\) \(=1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\) \(=\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

 \(\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{y+1}.\dfrac{z}{z+1}}\)

 Tương tự, ta có: \(\dfrac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{z+1}.\dfrac{x}{x+1}}\) và \(\dfrac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x+1}.\dfrac{y}{y+1}}\)

 Nhân theo vế 3 BĐT vừa tìm được, ta có:

  \(\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{y+1}.\dfrac{z}{z+1}}.2\sqrt{\dfrac{z}{z+1}.\dfrac{x}{x+1}}.2\sqrt{\dfrac{x}{x+1}.\dfrac{y}{y+1}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8.\dfrac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{4}\)

Vậy GTLN của \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) là \(\dfrac{1}{8}\), xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\)

Giải bằng bất đẳng thức Cô si: (ĐK: \(x^2-x+1\ge0;-2x^2+x+2\ge0;x^2-4x+7\)
Ta có: \(x^2-x+1+1\ge2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x+1}\le\dfrac{x^2-x+2}{2}\left(1\right)\\ T,T:\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{-2x^2+x+3}{2}\left(2\right)\\ \left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{x^2-x+2-2x^2+x+3}{2}=\dfrac{-x^2+5}{2}\\ \Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}-\dfrac{x^2-4x+7}{2}\le\dfrac{-x^2+5-x^2+4x-7}{2}\\ =\dfrac{-2x^2+4x-2}{2}\\ =-x^2+2x-1 \\ \Rightarrow-\left(x-1\right)^2\ge0\)
Điều này chỉ thỏa 1 điều kiên khi x-1=0 ⇔x=1(nhận
Vậy x=1 là nghiệm cuả phương trình

Ta có với x,y,z >0 thì:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Bất đẳng thức Cô si ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự: \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Từ đó ta có:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\left(dpcm\right)\)
 

Thay \(m=0\) vào \(y=\left(m-1\right)x+m-3\) ta được hàm số \(y=\left(0-1\right)x+0-3=-x-3\)

Ta có đồ thị : 

ý của bạn là cotang đk ạ chứ mình thấy cos nó sai ý

Số lượng số hạng:

\(\left(9999-1\right):1+1=9999\) (số hạng)

Tổng dãy số:

\(\left(9999+1\right)\cdot9999:2=49995000\)

Mà 49995000 không phải số chính phương