Ta có \(\left(2x+y+1\right)^2\ge0;\left(4x+my+5\right)^2\ge0\Rightarrow G\ge0\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}2x+y+1=0\\4x+my+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x+2y+2=0\\4x+my+5=0\end{cases}\Rightarrow}\left(m-2\right)y+3=0}\)

Nếu \(m\ne2\)thì \(m-2\ne0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{3}{2-m}\\x=\frac{m-5}{4-2m}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow Min_G=0\)

Nếu  m=2 thì

\(G=\left(2x+y+1\right)^2+\left(4x+my+5\right)^2=\left(2x+y+1\right)^2+\left[2\cdot\left(2x+y+1\right)+3\right]^2\)

Đặt 2x+y+1=z thì 

\(G=5z^2+12z+9=5\left[\left(z+\frac{6}{5}\right)^2+\frac{9}{25}\right]=5\left(x+\frac{6}{5}\right)+\frac{9}{5}\ge\frac{9}{5}\)

\(Min_G=\frac{9}{5}\Leftrightarrow2x+y+1=\frac{-6}{5}\)hay \(y=\frac{-11}{5}-2x,x\inℝ\)

giúp mình vs

• B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn.
• EF song song với AB.
• DE vuông góc với FK.

\(x^2-2mx+\left(m-1\right)^3=0\left(1\right)\)

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m-1\right)^3>0\)(*)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt là u, u² thì theo Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u\cdot u^2=\left(m-1\right)^2\end{cases}}\)(**)

(**)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u^3=\left(m-1\right)^3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u+u^2=2m\\u=m-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m-1+\left(m-1\right)^2=2m\\u=m-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m^2-3m=0\\u=m-1\end{cases}}}\)

PT \(m^2-3m=0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow m_1=0;m_2=3\left(tmđk\right)\)

Vậy m=0; m=3 là 2 giá trị cần tìm

HSG toán 9 Quảng Nam năm 2018-2019

Giải: Từ đẳng thức đã cho suy ra: \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\). Áp dụng (a+b)² >= 4ab ta có:

\(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\left(\frac{2x+y}{2}\right)\cdot\frac{3y}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y

\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left("="\Leftrightarrow x=y=z\right)\)

Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)

Tương tự \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}},\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)Do đó:

\(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Vậy GTLN của A=3 đạt được khi x=y=z=1