trong tam giác ABC có \(\widehat{B}=3\widehat{A}\). lấy 2 điểm M,N trên AC sao cho \(\widehat{CBM}=\widehat{MBN}=\widehat{NBA}\). lấy E thuộc BC, F là giao điểm của AE với BN, K là giao điểm của NE với BM. chứng minh rằng FK song song với AC.

có 2 loại thép vụn laoị 1 chứa 10% niken, loại 2 chứa 35% niken. Hỏi cần lấy tấn thép vụn mỗi loại dể luyện đc 140 tấn thép chứa 30% niken

1 hợp kim đồng và kẽm trong đó có 5 kg kẽm. Nếu thêm 15 kg kẽm vào hợp kim này thì đc 1 hợp kim mới mà trong hợp kim đó tỉ lệ phần trăm đồng giảm so với lúc đầu là 30% . Tính khối luong ban đầu hợp kim

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. cmr 4(a²+b²+c²)-(a³+b³+c³)\(\ge9\)

Cho AB=a và M di chuyển trên AB, dựng về một phía của AB 2 hình vuông AMCE và BMKQ  a) CM: IQKB và AECI nội tiếp  b)CM :3 đường thẳng AK,EQ,BC đồng qui tại I  c)Xác định điểm M trên đoạn AB để tam giác AIB có chu vi lớn nhất

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) tại B và C.
a) CM: tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn (O), cát tuyến ADE không qua tâm O; D nằm giữa A và E ). CM: AB^2=AD.AE=OA^2-R^2
c) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Cm: tứ giác HDEO nội tiếp

Tìm GTLN của T=\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-24}\)

cho đường tròn tâm O đường kính AB. vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn chứa tia Ax. qua O vẽ đường thẳng song song với BH cắt Ax tại I

a) chứng minh IH là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB

b) chứng minh tứ giác OAIH nội tiếp

Cho tam giác ABc , lấy D trên cạnh BC , vẽ đường tròn tâm I qua D tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn tâm K qua D tiếp xúc với AC tại C . Gọi M là giao điểm của hai đường tròn đó

1. CM : tứ giác ABMC nội tiếp

2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . CM : 3 đường tròn tâm I, tâm K và tâm O đồng quy

3. CM : MD di chuyển qua 1 điểm cố định

P=\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x}-x}\right)\)

a) Rút gọn P