Cách 1 : \(100=49+51\)

Cách 2 : \(100=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19\)

2²⁰²² = (2⁴)⁵⁰⁵.2² = \(\overline{...6}\)⁵⁰⁵. 4 = \(\overline{...4}\) =  \(\overline{...0}\) + 4 ⇒ 2²⁰²² : 5 dư 4 

Ta có: `2^2022 = (2^4)^505 . 2^2`.

`= 16^505 . 4 equiv 1^505 . 4 equiv 1 . 4 equiv 4 (mod 5)`.

c) P = \(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{200}\)

\(=\left(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{150}\right)+\left(\dfrac{1}{151}+\dfrac{1}{152}+...+\dfrac{1}{200}\right)\)

Dễ thấy \(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{150}>\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{150}+...+\dfrac{1}{150}\)(50 hạng tử)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{150}>\dfrac{1}{150}.50=\dfrac{1}{3}\)(1)

Tương tự

 \(\dfrac{1}{151}+\dfrac{1}{152}+...+\dfrac{1}{200}>\dfrac{1}{200}+\dfrac{1}{200}+...+\dfrac{1}{200}\)(50 hạng tử)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{151}+\dfrac{1}{152}+...+\dfrac{1}{200}>50.\dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{4}\)(2) 

Từ (1) và (2) ta được

\(P>\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}\) 

P = \(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{200}\)

\(=\left(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{150}\right)+\left(\dfrac{1}{151}+\dfrac{1}{152}+...+\dfrac{1}{200}\right)\)

         \(\overline{50\text{ hạng tử }}\)                            \(\overline{50\text{ hạng tử }}\)

\(< \left(\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}+...+\dfrac{1}{100}\right)+\left(\dfrac{1}{150}+\dfrac{1}{150}+...+\dfrac{1}{150}\right)\) 

\(=\dfrac{1}{100}.50+\dfrac{1}{150}.50=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\)

\(\Rightarrow P< \dfrac{5}{6}< 1\)

Lời giải:
a. Để $B$ là phân số thì $x+3\neq 0\Leftrightarrow x\neq -3$
b. Để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x+3$ là ước của $7$

$\Rightarrow x+3\in\left\{1;-1;7;-7\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{-2; -4; 4; -10\right\}$

c. Để $B< 0$ thì $7$ và $x+3$ trái dấu nhau. Mà $7>0$ nên $x+3<0$

$\Leftrightarrow x<-3$

d. Để $B$ đạt giá trị lớn nhất thì $x+3$ là số dương nhỏ nhất.

Với $x$ nguyên, $x+3$ dương nhỏ nhất bằng $1$

Khi đó: $B_{\max}=\frac{7}{1}=7$. Giá trị này đạt tại $x+3=1$ hay $x=-2$

\(\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2004.2005.2006}\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}\right)+2.\left(\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}\right)+...+2.\left(\dfrac{1}{2004.2005}-\dfrac{1}{2005.2006}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2004.2005}-\dfrac{1}{2005.2006}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2005.2006}\right)\)

\(=1-\dfrac{2}{2005.2006}\)

\(=\dfrac{2011014}{2011015}\).

Ta có:

\(M=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2004.2005.2006}\)

\(M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{2004.2005.2006}\right)\)

\(M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2004.2005}-\dfrac{1}{2005.2006}\right)\)

\(M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2005.2006}\right)\)

Giúp mình với

\(N=\dfrac{2006}{1.2}+\dfrac{2006}{2.3}+...+\dfrac{2006}{2006.2007}\)

\(N.2006=\dfrac{2006}{1}-\dfrac{2006}{2}+\dfrac{2006}{2}-\dfrac{2006}{3}+...+\dfrac{2006}{2006}-\dfrac{2006}{2007}\)

\(N.2006=2006-\dfrac{2006}{2007}\)

\(N=2006-\dfrac{2006}{2007}:2006\)

\(N=2006-\dfrac{1}{2007}\)

CM : Gx = 16^x - 15^x - 1 ⋮ 225 ∀ x \(\in\) N

Phương páp phản chứng: giả sử Gx = 16^x - 15^x - 1 ⋮ 225 ∀ x \(\in\)N

 ta có:  Với x = 0 ⇒ 16⁰ - 15⁰ - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 ⋮ 225 ( vô lý)

Vậy điều giả sử là sai hay  việc chứng minh

Gx = 16^x - 15^x - 1 ⋮ 225 là điều không thể xảy ra 

Bạn cần viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết ntn khó đọc quá.

\(B=\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dfrac{1}{1+2+3+4}+...+\dfrac{1}{1+2+3+4+...+99}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{2.3}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{3.4}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4.5}{2}}+...+\dfrac{1}{\dfrac{99.100}{2}}\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=\dfrac{49}{50}\).

1+2+3+....+99=100.99/2

1+2+3+...+98=99.98/2

.

.

.

1+2=3.2/2

=> B=2/(2.3)+ 2/(3.4)+...+2/(100.99)

=2.(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100)

=2.(1/2-1/100)

P(x) = 7^x + 3^x - 1 \(⋮9\)

Với x = 3k + 1 (k \(\inℕ^∗\))

= 7^{3k + 1} + 3^{3k + 1} - 1

= 343^k.3 + 27^k.3 - 1 

= (343^k.3 - 3) + 27^k.3 + 2

= 3(343^k - 1) + 27^k.3 + 2 

= 3(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

= 3.342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

=> P(x) : 9 dư 2

Với x = 3k + 2  

P(x) = 7^{3k + 2} + 3^{3k + 2} - 1

= 343^k.49 + 27^k.9 - 1 

= (343^k.49 - 49) + 27^k.9 + 48

= 49(343^k - 1) + 27^k.9 + 48

= 49(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.9 + 45 + 3

=> P(x) : 9 dư 3

Với x = 3k 

Khi đó P(x) = 7^3k + 3^3k - 1

= (343^k - 1) + 27^k

= (343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k

= 342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k \(⋮9\)

Vậy P(x) \(⋮\Leftrightarrow x⋮3\)