167167 nha

*x,y nguyên*

x² = y² + 2y + 13

<=> x² - ( y² + 2y + 1 ) = 12

<=> x² - ( y + 1 )² = 12

<=> ( x - y - 1 )( x + y + 1 ) = 12

Vì x,y nguyên => x - y - 1 và x + y + 1 nguyên

Lại có 12 = ±1.±12 = ±2.±6 = ±3,±4

nên bạn tự lập bảng xét :)

\(2x^2+3xy-2y^2=7\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4xy-xy-2y^2=7\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x+2y\right)-y\left(x+2y\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=7\)

VÌ x,y nguyên nên 2x-y và x+2y cũng nguyên

Nên 2x-y và x+2y là các ước của 7

nên có các trường hợp sau\(\left\{\left(2x-y\right);\left(x+2y\right)\right\}=\left\{\left(-1;-7\right);\left(-7;-1\right);\left(1;7\right);\left(7;1\right)\right\}\)

Tự giải nốt nhé

2x² + 3xy - 2y² = 7

<=> 2x² + 4xy - xy - 2y² = 7

<=> 2x(x + 2y) - y(x + 2y) = 7

<=> (2x - y)(x + 2y) = 7

Ta có 7 = 1.7 = (-1).(-7)

Lập bảng xét các trường hợp

Vậy các cặp (x;y) nguyên tìm được là (-1;-3) ; (1;3)

Ta có : 9(2x -1)² - 4(x + 1)² = 0

<=> [3.(2x - 1)]² - [2.(x + 1)]² = 0

<=> (6x - 3)² - (2x + 2)² = 0

<=> (4x - 5)(8x - 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}4x-5=0\\8x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{4}\\x=\frac{1}{8}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm phương trình S = \(\left\{\frac{5}{4};\frac{1}{8}\right\}\)

Đề sai rồi

Đây nhé

.

\(\left(x^2+10x+8\right)^2=\left(8x+4\right)\left(x^2+8x+7\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+48x^2+72x+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+16x^3+36x^2\right)+\left(12x^2+72x\right)+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x\right)^2+12\left(x^2+6x\right)+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+6\right)^2=0\)

Làm nốt

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)

\(\Rightarrow a=\frac{z+x}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)

Bài toán cần chứng minh:

\(\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{4x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4z}\ge x+y+z\)

Ta có:

\(VT=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x+y+z\right)xyz\)

\(=x+y+z=VP\)

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)( Vì a,b,c đôi 1 khác nhau nên \(\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne0\)

Ta có:

\(P=\frac{ab^2}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-b^2}\)

\(=\frac{ab^2}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}+\frac{bc^2}{b^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}+\frac{ca^2}{c^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{ab^2}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{bc^2}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{ca^2}{c^2-c\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{b+a-c}+\frac{a^2}{c+b-a}\)

\(=\frac{b^2}{-b-b}+\frac{c^2}{-c-c}+\frac{a^2}{-a-a}=-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{a}{2}=0\)

\(B=\frac{7y^2-4xy}{x^2-2xy+2y^2}=\frac{\left(-x^2+2xy-2y^2\right)+\left(x^2-6xy+9y^2\right)}{x^2-2xy+2y^2}=\frac{\left(x-3y\right)^2}{x^2-2xy+2y^2}-1\ge-1\)

Dấu =  xảy ra khi x = 3y