y^2+2xy-3x-2=0  <=> y^2 + 2xy + x^2  - (x^2+3x+2) = 0 <=>  (y+x)^2 - (x^2 + x + 2x + 2) =0

<=> (y+x)^2 - (x+1)(x+2) = 0 

=> (x+1)(x+2) = 0 (1) hoặc (y+x)^2 =0 (2)

Giải PT (1) ta được x=-1; x=-2

Thay kết quả của PT (1) vào PT (2) ta được y =1 hoặc y =2

Vậy các giá trị x và y cần tìm là : (-1;-2) và (1;2)

Cho mình 1 k nha!

lý luận thêm tí n nhá bạn

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)\left(x-2\right)=0\\x^3+2y^2=6\end{cases}}\)

den day ban tu lam tiep nhe

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được:          \(\left(ab+bc+ca+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\right)\ge\left(a+b+c+1\right)^2\)\(\left(ab+bc+ca+1\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+1\right)\ge\left(b+c+a+1\right)^2\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta được \(\left(ab+bc+ca+1\right)\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge2\left(a+b+c+1\right)^2\)hay \(\frac{ab+bc+ca+1}{\left(a+b+c+1\right)^2}\ge\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Đến đây, ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:\(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\)\(\ge2\sqrt{\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}}\)\(=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}}=\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(*)

Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được \(\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra được \(\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\ge1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1

Từ giả thiết a+b+c=1 suy ra: c=1-a-b, thay vào bất đẳng thức ta được

(3a+4b+5-5a-5b)²\(\ge\)44ab+44(a+b)(1-a-b)

<=> 48a²+16(3b-4)a+45b²-54b+25\(\ge0\)

Xét \(f\left(a\right)=48a^2+16\left(3b-4\right)a+45b^2-54b+25\), khi đó ta được

\(\Delta'=64\left(3b-4\right)^2-48\left(45b^2-54b+25\right)=-176\left(3b^2-1\right)\le0\)

Do đó suy ra: f(a) \(\ge\)0 hay 48a²+16(3a-4)a+45b²-54b+25\(\ge\)0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{6}\)

Ta có : 

\(\frac{4ab+1}{4ab}=1+\frac{1}{4ab}\ge1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4ab}{4ab+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)

Tương tự ta được : 

\(\frac{4bc}{4bc+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}};\frac{4ca}{4ca+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương với 

\(a+b+c\ge\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\) (1)

Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)

\(x,y,z>0;x+y+z=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge2\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\right)\)

\(VP=\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}+\frac{2y^2}{2y}+\frac{2z^2}{2z}=x+y+z=VT\)

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

\(\frac{4ab}{4ab+1}< =\frac{4ab}{2\sqrt{4ab}}=\sqrt{ab}\)

CMTT =>\(\hept{\begin{cases}\frac{4bc}{4bc+1}< =\sqrt{bc}\\\frac{4ac}{4ac+1}< =\sqrt{ac}\end{cases}}\)

Ta có \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b+2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c+2\sqrt{ac}+a\right)\right)\)

=\(\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right)>=0\)

dấu = xảy ra khi a=b=c.

\(=>a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)\(>=\frac{4ab}{4ab+1}+\frac{4bc}{4bc+1}+\frac{4ac}{4ac+1}\)

Ơ hơ mới thấy câu này cách đây vài ngày

Em show lại cách làm :")

Giả sử \(x>3;y>3;z>3\)

thì \(VT< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\left(ktm\right)\)

Vậy trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số nhỏ hơn 3

Mà x,y,z là các số nguyên dương nên

Coi x là số nhỏ hơn 3

\(\left(+\right)x=1\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Leftrightarrow y+z=yz\)

\(\Leftrightarrow y-yz-1+z=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=1\)

Dễ tìm được \(y=2;z=2\) \(\left(y=0;z=0\left(ktm\right)\right)\)

\(\left(+\right)x=2\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2z=3yz\)

\(\Leftrightarrow6y-9yz-4+6z=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(3y-2\right)\left(3z-2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(y,z\right)=\left(1,2\right);\left(2,1\right)\)( một số cặp khác ko thỏa mãn )

Vậy ta có các cặp x,y,z thỏa mãn : \(\left(1,2,2\right);\left(2,2,1\right);\left(2,2,1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}\left(x^2+3x+5>0\right)}\)

Tìm được (x;y)=(1;0);(2;2)

Xin phép thủ công :"))

\(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=1008\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1008\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc-c^2-ab+ac+ac-bc-a^2+ab+ab-b^2-ac+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1008\)

\(\Leftrightarrow-\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1008\)

\(A=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{\left(c-b\right)\left(b-c\right)+\left(a-c\right)\left(c-a\right)+\left(b-a\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{bc-b^2-c^2+bc+ac-c^2-a^2+ac+ab-a^2-b^2+ab}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{-2\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=2.1008=2016\)

\(n_{H_2}=\frac{1}{2}n_{HCl}=0.17\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow V_{H_2}=3.808\left(l\right)\)

\(n_{Cl}=n_{HCl}=0.34\left(mol\right)\)(số mol của Cl tạo muối)

\(m_{muoi}=m_{KL}+m_{Cl}=4+0.34\cdot35.5=16.07\left(g\right)\)

Có sai thì mong bạn thông cảm

cảm ơn bạn BUI HUYEN nhiều