a)Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương 

b) Chứng minh rằng tổng các bình phương của không  số nguyên liên tiếp (k=3,4,5) không là số chính phương

ohhhhhhhh iêu ôi

x A y B 5 D C 7,5 E

Vì DE // BC ( gt ) áp dụng hệ quả Ta lét ta có : 

\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\Rightarrow\frac{2}{5}=\frac{DE}{7,5}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{2.7,5}{5}=\frac{15}{5}=3\)cm 

\(M=\frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}-1\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\le1\)

\(\Leftrightarrow M\le1\)

Vậy  \(M_{max}=1\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(x^3-6x^2+10x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-4x^2\right)-\left(2x^2-8x\right)+\left(2x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-4\right)-2x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x+2=0\\x-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=-1\left(vn\right)\\x=4\end{cases}}\Leftrightarrow x=4\)(vn : vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=4\)

735654634T3264T264T2T3645423R23B636473

A B C D E N

a) Xét \(\Delta BAC\)có phân giác BD (giả thiết).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\)(tính chất).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC+BA}=\frac{AD}{CD+AD}=\frac{AD}{AC}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{6}{10+6}=\frac{AD}{8}\)(thay số).

\(\Rightarrow\frac{6}{16}=\frac{AD}{8}\)

\(\Rightarrow AD=\frac{6}{16}.8=\frac{3}{8}.8=3\left(cm\right)\)

Do đó \(CD=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AD=3cm,CD=5cm\)

ta có

\(\frac{x^2}{x-1}\)\(=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}+2\)

áp dụng bất đẳng thức AM-GM với các số thực dương ta có

\(\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\frac{1}{x-1}=2}\)

dấu "=" xảy ra khi

\(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\)

\(\left(x-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow p\ge2+2=4\)

VẬY MINP là 

\(4\Leftrightarrow x=1\)

cảm ơn nhé nhưng còn cách khác không vì mình cũng làm giống như này :P

A B C P M N D E F

a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 90⁰ + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP

Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)

Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:

\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)

\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)

\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)

\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)

\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)

nhìn khó ghê nha

khó vãi nhỉ