Gọi số tự nhiên ban đầu là X

Viết thêm chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải thì số mới sẽ là 10X+2000+2=10X+2002

Số mới gấp 153 lần số ban đầu nên ta có:

10X+2002=153X

=>143X=2002

=>\(X=\dfrac{2002}{143}=14\left(nhận\right)\)

Vậy: Số cần tìm là 14

Gọi độ dài quãng đường AB là x(km)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian dự kiến ban đầu là \(\dfrac{x}{40}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi nửa quãng đường ban đầu là \(\dfrac{x}{2}:40=\dfrac{x}{80}\left(giờ\right)\)

vận tốc trên nửa quãng đường còn lại là 40+10=50(km/h)

Thời gian đi nửa quãng đường còn lại là \(\dfrac{x}{2}:50=\dfrac{x}{100}\left(giờ\right)\)

Tổng thời gian là 11h30p-6h30p-30p=4h30p=4,5(giờ)

Theo đề, ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{80}+\dfrac{x}{100}=4,5\)

=>\(\dfrac{9x}{400}=4,5\)

=>\(9x=400\cdot4,5=1800\)

=>\(x=\dfrac{1800}{9}=200\left(nhận\right)\)

vậy: Quãng đường AB là 200km

a: \(P=\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2-x}{x+2}+\dfrac{8-6x}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{8-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+2\right)-\left(x-2\right)^2+8-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-x^2+4x-4+8-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{4}{x^2-4}\)

b: Thay x=3 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{4}{3^2-4}=\dfrac{4}{5}\)

Thay x=-1/2 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{4}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-4}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}-4}=4:\dfrac{-15}{4}=\dfrac{-16}{15}\)

c: Để P là số nguyên thì \(4⋮x^2-4\)

=>\(x^2-4\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x^2\in\left\{5;3;6;2;8;0\right\}\)

mà x nguyên

nên x^2=0

=>x=0(nhận)

Gọi thời gian người 1 và người 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là x(ngày) và y(ngày)

(ĐK: x>0; y>0)

Trong 1 ngày, người 1 làm được \(\dfrac{1}{x}\left(côngviệc\right)\)

Trong 1 ngày, người 2 làm được \(\dfrac{1}{y}\left(côngviệc\right)\)

Trong 1 ngày, hai người làm được \(\dfrac{1}{4}\left(côngviệc\right)\)

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\left(1\right)\)

Trong 2 ngày, người 1 làm được \(\dfrac{2}{x}\)(công việc)

Trong 2+6=8 ngày, người 2 làm được \(\dfrac{8}{y}\)(công việc)

Vì làm được 2 ngày thì người 1 chuyển đi, người 2 làm tiếp trong 6 ngày thì xong công việc nên ta có: \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{8}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{8}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{8}{y}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{6}{y}=-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=12\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=12\end{matrix}\right.\)(nhận)

Vậy: thời gian người 1 và người 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là  6 ngày và 12 ngày

                   Giải:

Trong một ngày hai người cùng làm được:

             1 : 4  = \(\dfrac{1}{4}\) (công việc)

Hai ngày hai người cùng làm được:

           \(\dfrac{1}{4}\) x 2  = \(\dfrac{1}{2}\) (công việc)

Trong 6 ngày người thứ hai làm một mình được:

           1 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) (công việc)

Trong một ngày người thứ hai làm một mình được:

           \(\dfrac{1}{2}\) : 6  = \(\dfrac{1}{12}\) (công việc)

Trong một ngày người thứ nhất làm một mình được:

            \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{12}\) = \(\dfrac{1}{6}\) (công việc)

Người thứ nhất làm một mình sẽ hoàn thành công việc sau:

           1 : \(\dfrac{1}{6}\) = 6 (ngày)

Kết luận: người thứ nhất làm một mình sẽ xong công việc sau 6 ngày

1: 

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-2;2;0\right\}\)

\(\dfrac{0,5x^2+x+2}{1+0,5x}:\dfrac{x^3-8}{x+2}+\dfrac{2}{x\left(2-x\right)}\)

\(=\dfrac{0,5\left(x^2+2x+4\right)}{0,5\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}-\dfrac{2}{x\left(x-2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{1}{x}\)

b: \(P< =\dfrac{1}{1-x}\)

=>\(\dfrac{1}{x}< =\dfrac{1}{1-x}\)

=>\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1-x}< =0\)

=>\(\dfrac{1-x-x}{x\left(1-x\right)}< =0\)

=>\(\dfrac{2x-1}{x\left(x-1\right)}< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1< =0\\x\left(x-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< =\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x< 0\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x\ne-2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>=0\\x\left(x-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{1}{2}\\0< x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< =x< 1\)

a: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm" là: \(\dfrac{22}{40}=\dfrac{11}{20}\)

b: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc sắc là mặt 6 chấm" là \(\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\)

c: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc sắc là mặt 1 chấm" là \(\dfrac{18}{40}=\dfrac{9}{20}\)

d: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc sắc là mặt 3 chấm" là \(\dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10}\)

e: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc sắc là mặt 5 chấm" là \(\dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}\)

f: Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc sắc là mặt 2 chấm" là \(\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}\)

a.

Xét hai tam giác AHB và CAB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}-chung\\\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta CAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

b.

Do H là trung điểm BM, trong tam giác ABM có AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{AMH}\)

Mà \(\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{CMK}\)

Xét hai tam giác ABH và CMK có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABH}=\widehat{CMK}\left(cmt\right)\\\widehat{AHB}=\widehat{CKM}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta CMK\left(g.g\right)\)

c.

Xét hai tam giác AMH và CMK có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHM}=\widehat{CKM}=90^0\\\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta AMH\sim\Delta CMK\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{MH}{MK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{CM}{MK}\)

Xét hai tam giác AMC và HMK có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{CM}{MK}\left(cmt\right)\\\widehat{AMC}=\widehat{HMK}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\)  

\(\Rightarrow\Delta AMC\sim\Delta HMK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{AC}{HK}\Rightarrow MH.AC=AM.HK\)

Mà H là trung điểm BM \(\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}BM\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}BM.AC=AM.HK\Rightarrow BM.AC=2AM.HK\)

d.

Từ câu c, do \(\Delta AMC\sim \Delta HMK\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{HKM}\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACM}+\widehat{CAI}=90^0\\\widehat{HKM}+\widehat{HKI}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{CAI}=\widehat{HKI}\)

Xét hai tam giác CAI và HKI có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{I}-chung\\\widehat{CAI}=\widehat{HKI}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta CAI\sim\Delta HKI\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{CI}{HI}=\dfrac{AI}{KI}\Rightarrow KI.CI=HI.AI\)

Ta có:

\(AC^2=AK^2+KC^2=AI^2-IK^2+KC^2\)

\(=AI\left(AH+HI\right)-IK^2+KC^2\)\(=AH.AI+AI.HI-IK^2+KC^2\)

\(=AH.AI+KI.CI-IK^2+KC^2=AH.AI+KI\left(CI-IK\right)+KC^2\)

\(=AH.AI+KI.CK+KC^2=AH.AI+CK.\left(KI+CK\right)\)

\(=AH.AI+CK.CI\) (đpcm)

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Xét ΔABM có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABM cân tại A

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{ABM}\)

mà \(\widehat{AMB}=\widehat{CMK}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{CMK}\)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔKMC vuông tại K có

\(\widehat{HBA}=\widehat{KMC}\)

Do đó: ΔHBA~ΔKMC

d: Gọi N là giao điểm của IM với CA

Xét ΔCAI có

AK,CH là các đường cao

AK cắt CH tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔCAI

=>IM\(\perp\)CA tại N

Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCNI vuông tại N có

\(\widehat{KCA}\) chung

Do đó: ΔCKA~ΔCNI

=>\(\dfrac{CK}{CN}=\dfrac{CA}{CI}\)

=>\(CK\cdot CI=CA\cdot CN\)

Xét ΔAHC vuông tại H và ΔANI vuông tại N có

\(\widehat{HAC}\) chung

Do đó: ΔAHC~ΔANI

=>\(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AC}{AI}\)

=>\(AH\cdot AI=AN\cdot AC\)

\(CK\cdot CI+AH\cdot AI\)

\(=AN\cdot AC+CN\cdot AC\)

\(=AC\left(AN+CN\right)=AC^2\)

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km) với x>0

Thời gian người đó đi từ A đến B là: \(\dfrac{x}{35}\) giờ

Do lúc về đi con đường khác dài hơn đường cũ 8km nên độ dài quãng đường về là: \(x+8\) (km)

Vận tốc lúc về lớn hơn lúc đi là 5km/h nên vận tốc lúc về là: \(35+5=40\) (km/h)

Thời gian về là: \(\dfrac{x+8}{40}\) gờ

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 3 phút =1/20 giờ nên ta có pt:

\(\dfrac{x}{35}-\dfrac{x+8}{40}=\dfrac{1}{20}\)

\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{35}-\dfrac{1}{40}\right)=\dfrac{8}{40}+\dfrac{1}{20}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{280}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{280}{4}=70\left(km\right)\)