Cho tam giác ABC. Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J, phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C cắt nhau tại K, phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L . Chứng minh A a) BIC = 90° +4 2 2 b) Chứng minh ba điểm A,I,J thẳng hàng c) AJ, BK, CL cắt nhau tại một...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC. Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J, phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C cắt nhau tại K, phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L . Chứng minh
A a) BIC = 90° +4 2 2
b) Chứng minh ba điểm A,I,J thẳng hàng
c) AJ, BK, CL cắt nhau tại một điểm
a: Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)
=>\(2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=180^0-\widehat{BAC}\)
=>\(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90^0-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}+\widehat{BIC}=180^0\)
=>\(\widehat{BIC}+90^0-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=180^0\)
=>\(\widehat{BIC}=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=90^0+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\)
b: Kẻ JH\(\perp\)AB tại H; JM\(\perp\)BC tại M; JN\(\perp\)AC tại N
Xét ΔBHJ vuông tại H và ΔBMJ vuông tại M có
BJ chung
\(\widehat{HBJ}=\widehat{MBJ}\)
Do đó: ΔBHJ=ΔBMJ
=>JH=JM(1)
Xét ΔCMJ vuông tại M và ΔCNJ vuông tại N có
CJ chung
\(\widehat{MCJ}=\widehat{NCJ}\)
Do đó: ΔCMJ=ΔCNJ
=>JM=JN(2)
Từ (1),(2) suy ra JH=JN
Xét ΔAHJ vuông tại H và ΔANJ vuông tại N có
AJ chung
JH=JN
Do đó: ΔAHJ=ΔANJ
=>\(\widehat{HAJ}=\widehat{NAJ}\)
=>AJ là phân giác của góc BAC
mà AI là phân giác của góc BAC
và AJ,AI có điểm chung là A
nên A,I,J thẳng hàng
a: Xét ΔABC có \(\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 18 0^{0}\)
=>\(2 \left(\right. \hat{I B C} + \hat{I C B} \left.\right) = 18 0^{0} - \hat{B A C}\)
=>\(\hat{I B C} + \hat{I C B} = 9 0^{0} - \frac{1}{2} \cdot \hat{B A C}\)
Xét ΔIBC có \(\hat{I B C} + \hat{I C B} + \hat{B I C} = 18 0^{0}\)
=>\(\hat{B I C} + 9 0^{0} - \frac{1}{2} \cdot \hat{B A C} = 18 0^{0}\)
=>\(\hat{B I C} = 18 0^{0} - 9 0^{0} + \frac{1}{2} \cdot \hat{B A C} = 9 0^{0} + \frac{\hat{B A C}}{2}\)
b: Kẻ JH\(\bot\)AB tại H; JM\(\bot\)BC tại M; JN\(\bot\)AC tại N
Xét ΔBHJ vuông tại H và ΔBMJ vuông tại M có
BJ chung
\(\hat{H B J} = \hat{M B J}\)
Do đó: ΔBHJ=ΔBMJ
=>JH=JM(1)
Xét ΔCMJ vuông tại M và ΔCNJ vuông tại N có
CJ chung
\(\hat{M C J} = \hat{N C J}\)
Do đó: ΔCMJ=ΔCNJ
=>JM=JN(2)
Từ (1),(2) suy ra JH=JN
Xét ΔAHJ vuông tại H và ΔANJ vuông tại N có
AJ chung
JH=JN
Do đó: ΔAHJ=ΔANJ
=>\(\hat{H A J} = \hat{N A J}\)
=>AJ là phân giác của góc BAC
mà AI là phân giác của góc BAC
và AJ,AI có điểm chung là A
nên A,I,J thẳng hàng