Lời giải:

$A=x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy$

$=1-3xy+xy=1-2xy=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^2+\frac{1}{4}\geq x$

$y^2+\frac{1}{4}\geq y$

$\Rightarrow A=x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

Đó là kí hiệu tích nhé bạn.

VD1: Cho n số thực \(a_1,a_2,...,a_n\) thì kí hiệu: 

\(\prod\limits^n_{i=1}a_i=a_1.a_2...a_n\)

VD2: Cho n số thực dương \(a_1,a_2,...,a_n\). Khi đó ta có bất đẳng thức Cô-si nổi tiếng:

 \(\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)

 Sử dụng kí hiệu, ta có thể viết lại BĐT này như sau:

 \(\dfrac{\sum\limits^n_{i=1}a_i}{n}\ge\sqrt[n]{\prod\limits^n_{i=1}a_i}\). Ta thấy kí hiệu \(\prod\) xuất hiện ở vế phải làm cho BĐT trở nên gọn gàng hơn rất nhiều.

Là số 2

\(\infty\) là vô hạn hoặc số 8 viết ngang.

Cho 1 like nhé bạn

\(\text{∞}\) là dấu kí hiệu vô cực trong toán học.

Ta có: \(EF//AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (đồng vị) 

Xét hai tam giác FEC và AMC có:

\(\widehat{FCE}\) chung 

\(\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (cmt) 

\(\Rightarrow\Delta FEC\sim\Delta AMC\) (g.g)  

\(\Rightarrow\dfrac{EF}{AM}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{CE}{EF}\) (1) 

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta BEG\sim\Delta BMA\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{BE}{EG}\) (vì \(CM=BM\)) (2) 

Từ (1) và (2) ta có: 

\(\dfrac{CE}{EF}=\dfrac{BE}{EG}\Rightarrow EG\cdot CE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot\left(BC-BE\right)=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot BC-EG\cdot BE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EF\cdot BE+EG\cdot BE=EG\cdot BC\)  

\(\Rightarrow EF+EG=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(3\right)\) 

Từ (2) ta có: \(\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\) 

\(\Rightarrow BM\cdot EG=BE\cdot AM\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC\cdot EG=BE\cdot AM\) 

\(\Rightarrow EG\cdot BC=2AM\cdot BE\)

\(\Rightarrow2AM=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow EF+EG=2AM\) (đpcm) 

E A B C D M O N

a/

Ta có M và A cùng nhìn OC dưới 1 góc \(90^o\) => ACMO là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg vuông BED và tg vuông AEC có \(\widehat{BED}\) chung

=> tg BED đồng dạng với tg AEC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DE}{CE}\)

Mà 

\(DB=DM;CA=CM\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...)\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DE}{CE}\Rightarrow DM.CE=CM.DE\)

c/

Ta có

\(CA\perp AB\left(gt\right);DB\perp AB\left(gt\right)\) => CA//DB

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DB}{CA}\) (Talet)

Mà \(\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DB}{CA}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DM}{CM}\) => MN//BD (Talet đảo trong tam giác)