\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}\)

\(\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=\frac{x+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\frac{x+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\frac{x+3}{2}\)

TH1 \(\sqrt{x-1}>1\Rightarrow PT\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\frac{x+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=\frac{x+3}{2}\Leftrightarrow16\left(x-1\right)=\left(x+3\right)^2\Leftrightarrow x^2-10x+25=0\Leftrightarrow x=5\) thỏa mãn

TH2 \(\sqrt{x-1}\le1\Rightarrow PT\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1=\frac{x+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2=\frac{x+3}{2}\Leftrightarrow x=1\)thỏa mãn

Trục căn thức thôi bạn

\(B=\frac{1}{\sqrt{5}-2}+\frac{4}{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}+\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}+\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}\)

\(=\frac{\sqrt{5}+2}{1}+\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}\)

\(=\sqrt{5}+2+3-\sqrt{5}=5\)

1 2 60 o D K B O H E E

a) Tam giác ABC đều => \(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

+) BDO có : \(\widehat{B}+\widehat{D_1}+\widehat{BOD}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=180^o-\widehat{B}-\widehat{BOD}\)

            \(=180^o-60^o-\widehat{BOD}\)

            \(=120^o-\widehat{BOD}\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\widehat{BOD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOC}=\widehat{BOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EOC}=180^o-\widehat{DOE}-\widehat{BOD}\)

                 \(=180^o-60^o-\widehat{BOD}\)

                 \(=120^o-\widehat{BOD}\)

Từ (1) và (2) , ta có : \(\widehat{D_1}=\widehat{EOC}\)

Tam giác BOD và CEO có :

\(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

\(\widehat{D_1}=\widehat{EOC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BOD~\Delta CEO\)

\(\Rightarrow\frac{BO}{CE}=\frac{BD}{CO}\)

\(\Rightarrow BD.CE=BO.CO=\frac{BC^2}{4}\)( không đổi )

b) \(\Delta BOD~\Delta CEO\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{EO}=\frac{BD}{CO}\)

mà \(CO=BO\Rightarrow\frac{OD}{EO}=\frac{BD}{BO}\)

Tam giác BOD và OED có :

\(\widehat{B}=\widehat{O}\left(=60^o\right)\)

\(\frac{BD}{BO}=\frac{OD}{OE}\)

\(\Rightarrow\Delta BOD~\Delta OED\)

\(\Rightarrow\widehat{BDO}=\widehat{ODE}\)

=> OD là tia phân giác của góc BDE

c) 

Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB

=> R = OK

O thuộc đường phân giác của góc BDE

=> OH = OK.

=> OH = R

=> DE tiếp xúc với (O; R) ( đpcm )