\(P=\left(a^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)+\left(b^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{3}{8}\)

\(P\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{16^3}}+4\sqrt[4]{\dfrac{b^2}{16^3}}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{8}\)

\(P_{min}=\dfrac{1}{8}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a;b\ge0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}\ge a^2\\\sqrt{b}\ge b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)

Tuần trước tuần trở in

Do (d) đi qua A nên:

\(0.m+n=-1\Rightarrow n=-1\)

\(\Rightarrow y=mx-1\)

Pt hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(\dfrac{1}{2}x^2=mx-1\Leftrightarrow x^2-2mx+2=0\) (1)

(d) tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Rightarrow\Delta'=m^2-2=0\Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\)

- Với \(m=\sqrt{2}\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}=\sqrt{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x^2=1\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(\sqrt{2};1\right)\)

- Với \(m=-\sqrt{2}\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}=-\sqrt{2}\Rightarrow y=1\) 

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(-\sqrt{2};1\right)\)

Ta có pt: \(x^2-2mx+m^2=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot m^2=0\)

Khi phương trình luôn có nghiệm kép với mọi m \(\Rightarrow x_1< x_2\) vô lý 

Chỉ có thể tìm được m nếu \(2000< x_1=x_2< 2007\)  

Khi đó: \(x_1=x_2=\dfrac{-\left(-2m\right)}{2}=m\)

\(\Rightarrow2000< m< 2007\)

Các số nguyên m thỏa mãn là: 

\(m\in\left\{2001;2002;2003;2004;2005;2006\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{2};x\ne0\)

\(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{x-1}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\) (do \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\) luôn dương)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Đk: \(x\ge-\dfrac{1}{2},x\ne0\)

pt \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{2x+1-\left(x+2\right)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (vì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}>0\))

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)