Cho x,y là các số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+5}-y^3=\sqrt{y^2+5}-x^3\). Tìm GTLN của biểu thức: \(P=x^2-3xy+12y-y^2+2021\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TQ
1
28 tháng 12 2020
Đề bài này auto sai rồi, sửa đề:
\(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\CM:\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\end{cases}}\)
Bài làm:
Áp dụng phương pháp Cauchy ngược dấu ta có thể giải quyết nhanh như sau:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\) (Cauchy)
Tương tự ta CM được: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
=> \(VT\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
TA
0
28 tháng 12 2020
a) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
Ta có:
\(M=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)\div\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{2}{x-1}\right)\)
\(M=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-1}\div\frac{\sqrt{x}-1+\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}+2}{x-1}\)
\(M=\frac{x+2\sqrt{x}+1-x+2\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{\sqrt{x}-1+x+\sqrt{x}+2}\)
\(M=\frac{4\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}=\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)^2\ge4\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow M=\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 1 => mâu thuẫn đk
=> \(M< 1\)
c) Vì \(\hept{\begin{cases}4\sqrt{x}\ge0\\\left(\sqrt{x}+1\right)^2>0\end{cases}}\Rightarrow\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\ge0\)
Từ b => \(1>M\ge0\)