Ta khẳng định : Dấu '=' xảy ra tại x=a, y=b, z=c

Khi đó \(4a+3b+4c=22;\frac{1}{3x}=\frac{1}{3a}=\frac{x}{3a^2},\frac{2}{y}=\frac{2}{b}=\frac{2y}{b^2},\frac{3}{z}=\frac{3}{c}=\frac{3z}{c^2}\)và :

\(\frac{1}{3x}+\frac{x}{3a^2}\ge\frac{2}{3a},\frac{2}{y}+\frac{2y}{b^2}\ge\frac{4}{b},\frac{3}{z}+\frac{3z}{c^2}\ge\frac{6}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\left(\frac{2}{3a}-\frac{x}{3a^2}\right)+\left(\frac{4}{b}-\frac{2y}{b^2}\right)+\left(\frac{6}{c}-\frac{3z}{c^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{1}{3a^2}\right)x+\left(1-\frac{2}{b^2}\right)y+\left(1-\frac{3}{c^2}\right)z+\left(\frac{2}{3a}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)\)(*)

Ta chọn a,b,c thích hợp để sử dụng giả thiết \(4x+3y+4z=22\).. Vậy thì các hệ số của x,y,z trong (*) phải thỏa:

\(\hept{\begin{cases}4a+3b+4c=22\\\frac{1-\frac{1}{3a^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{b^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{c^2}}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}}\)

\(ĐK:x+\frac{3}{x}\ge0,x\ne0,x\ne-1\)

\(\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\Leftrightarrow\sqrt{x+\frac{3}{x}}-2=\frac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}-2\)\(\Leftrightarrow\frac{x+\frac{3}{x}-4}{\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2}=\frac{x^2-4x+3}{2\left(x+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4x+3}{x\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2x}=\frac{x^2-4x+3}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+3\right)\left(\frac{1}{x\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2x}-\frac{1}{2\left(x+1\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-4x+3=0\\x\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2x=2\left(x+1\right)\end{cases}}\)

TH1: \(x^2-4x+3=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\left(t/m\right)\)

TH2: \(x\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2x=2\left(x+1\right)\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{3}{x}}=2\)\(\Leftrightarrow x^2\left(x+\frac{3}{x}\right)=4\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+4\right)=0\)

Dễ thấy \(x^2+x+4>0\forall x\inℝ\)nên x - 1 = 0 hay x = 1 (tmđk)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \(\left\{1;3\right\}\)

Cái chăm chỉ nhất là bình phương lên đấy :>

\(\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x^2+3}{x}}=\frac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}\)

bình phương 2 vế ta được : 

\(\frac{x^2+3}{x}=\frac{\left(x^2+7\right)^2}{4\left(x+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+1\right)^2\left(x^2+3\right)=x\left(x^2+7\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+16x^2+8x^3+24x+12=x\left(x^4+14x^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4+16x^2+8x^3+24x+12=x^5+14x^3+49x\)

Tự làm nốt, bài này có khá nhiều phương pháp giải nhưng đối với con gà như mình thì chỉ có cách làm cần cù bù siêng năng này thôi, bạn thông cảm :< 

check lại đề phát bạn; chẳng lẽ người ra đề lại rảnh đến mức cho 2017, 2018, 2/3 đứng 3 nơi như vậy.

bạn tách phân thức ấy ra rồi dùng bđt cô-si nhé ( nếu đề không sai )

\(P\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\frac{1}{2}\)

"=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)