Không mất tính tổng quát, giả sử AB < CD

Gọi K là giao điểm của AD và BC

Dễ có: \(\Delta KEF~\Delta KAB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{S_{KAB}}{S_{KEF}}=\frac{AB^2}{EF^2}\)(tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

\(\Delta KEF~\Delta KDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{S_{KDC}}{S_{KEF}}=\frac{CD^2}{EF^2}\)(tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

Từ đó suy ra \(\frac{AB^2+CD^2}{EF^2}=\frac{S_{KAB}+S_{KCD}}{S_{KEF}}=\frac{\left(S_{KAB}+S_{ABFE}\right)+\left(S_{KCD}-S_{EFCD}\right)}{S_{KEF}}=2\)\(\Rightarrow EF^2=\frac{AB^2+CD^2}{2}\)hay \(EF=\sqrt{\frac{AB^2+CD^2}{2}}\)(đpcm)

Giúp với!!!!!

Câu đề HN vừa thi hôm trước, sửa thành tìm max

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)

\(=6\left(a+b+c\right)\le6\) 

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3

Làm xong mới thấy không giống lắm hihi:D

dick and fuck

\(ĐK:x^3-3x^2+3\ge0\)

\(3\left(x-2\right)^2\left(x+1\right)+2\sqrt{x^3-3x^2+3}-8=0\)     \(\Leftrightarrow3\left(x^3-3x^2+4\right)+2\sqrt{x^3-3x^2+3}-8=0\)

Đặt \(t=\sqrt{x^3-3x^2+3}\left(t\ge0\right)\)thì phương trình trở thành \(3\left(t^2+1\right)+2t-8=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(3t+5\right)=0\)

Vì t \(\ge\)0 nên 3t + 5 > 0 nên  \(t=1\)thì \(\sqrt{x^3-3x^2+3}=1\Leftrightarrow x^3-3x^2+2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\)

Giải phương trình này ta tìm được: \(x\in\left\{1;1\pm\sqrt{3}\right\}\)(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình\(S=\left\{1;1\pm\sqrt{3}\right\}\).

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{3\sqrt{x}+1}{1-x}\)

a) ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) Với x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ

\(A=\frac{2\sqrt{4}-1}{\sqrt{4}+1}=\frac{4-1}{2+1}=\frac{3}{3}=1\)

c) Chưa nghĩ ra :<