Bổ đề: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

1. \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le2\left(a+b\right)=4\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

2. \(\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2\le2\left(a-1+b-1\right)=2\left(a+b-2\right)=2\left(4-2\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=2\)

3,4,5 tương tự.

phiền bạn giải hộ luôn mấy bài còn lại nha, mình ngu lắm, sorry vì phiền bn

Ta có: \(P=\frac{2x^2+7x+23}{x^2+2x+10}\Leftrightarrow P\left(x^2+2x+10\right)=2x^2+7x+23\)

\(\Leftrightarrow Px^2+2Px+10P-2x^2-7x-23=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-2\right)x^2+\left(2P-7\right)x+\left(10P-23\right)=0\)

\(\Delta=\left(2P-7\right)^2-4\left(P-2\right)\left(10P-23\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-4\left(10P^2-43P+46\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-40P^2+173P-184\ge0\)

\(\Leftrightarrow-36P^2+145P-135\ge0\)

\(\Rightarrow36P^2-145P+135\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-\frac{145}{36}P+\frac{27}{29}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P^2-2\cdot\frac{145}{72}+\frac{21025}{5184}\right)-\frac{469757}{150336}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-\frac{145}{72}\right)^2\ge\frac{469757}{150336}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P-\frac{145}{72}\le\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P\le\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

Vậy \(Min_P=\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\) và \(Max_P=\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: \(32\left(a^5+b^5\right)\ge2\left(a+b\right)^5\)

* Xét biểu thức: \(32\left(a^5+b^5\right)-2\left(a+b\right)^5=10\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(3a^2+3b^2+2ab\right)\ge0\forall a,b\inℝ\)do \(3a^2+3b^2+2ab=2a^2+2b^2+\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

≤ 3/2 thì làm sao mà ≥ 9 được 

áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)(1)

lại có a + b + c ≤ 3/2

=> ( a + b + c )² ≤ 9/4

=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\)(2)

từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\)

=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge4\)

đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/2

muốn ≥ 9 thì a + b + c ≤ 1

cách làm tương tự