Phương trình có các hệ số là a = 3 ; b = 5 ; c = -1

\(\Delta=5^2-4.3.\left(-1\right)=25+12=37\)

Do \(\Delta>0\), ta áp dụng công thức nghiệm , phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

\(x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}\); \(x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}\)

Ta có: \(\Delta=5^2-4.3.\left(-1\right)=37>0\)

\(\Rightarrow\)Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:\(x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}\)

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung  và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc  hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg =  = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  và 

Dự đoán: Quỹ tích điểm I là hai cung  là các cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB.

Chứng minh:

+ Phần thuận :

Theo phần a):  không đổi

I nằm trên cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định

Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt hai cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB tại C và D

Khi M di động trên đường tròn đường kính AB cố định thì I di động trên cung BC và BD

⇒ I nằm trên hai cung  chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định.

+ Phần đảo:

Lấy điểm I bất kỳ nằm trên hai cung  nhìn AB dưới 1 góc 26º34’.

AI cắt đường tròn đường kính AB tại M.

⇒ BM /MI = tan I = 1/2.

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  nhìn AB dưới góc 26º34’ (hình vẽ).

Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :

Dựng tia Bx sao cho 

Dựng tia By ⊥ Bx.

Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Tam giác \(ABO\)vuông tại \(O\). Do đó điểm \(O\)luôn thuộc đường tròn đường kính \(AB\)(trừ 2 điểm \(A\)và \(B\)).

A B C D O

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90^o.

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Trình tự dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

- Dựng góc  = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: là cung chứa góc 55^odựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)

Dựng đoạn thẩng AB bằng 3cm dựng góc xAB =55* dựng tia AY vuông góc vs tia Ax dựng đg trung trực d của đoạn thẳng AB/ d cắt Ay tại O . Dựng đg tròn tâm O bán kính OA  cung AmB  là góc 55 độ cần dựng