Gọi số sản phẩm mà hai tổ làm được trong tháng trước lần lượt là x và y.

Tổng số sản phẩm mà hai tổ làm được trong tháng trước là: x+y=1000 (1)

Số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng này là: 

x−15%x

Số sản phẩm tổ 21 làm được trong tháng này là: 

y+15%y

Tổng số sản phẩm hai tổ làm được trong tháng này là: 

(x−15%x)+(y+15%y)=1030 (2)

Giải (1) và (2), ta được: 

x=400; y=600

Vậy sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng này là: 340sp

Sản phẩm tổ 2 làm được trong tháng này là 690sp

Gọi số xe to hoặc số xe nhỏ lần lượt là \(a,b\)(xe) (\(a,b\inℕ^∗\)) 

Theo bài ra, ta có hệ phương trình: 

\(\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{180}{a}-\frac{180}{b}=15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{180}{b-2}-\frac{180}{b}=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b-2\\\frac{360}{b\left(b-2\right)}=15\end{cases}}}\)

\(\frac{360}{b\left(b-2\right)}=15\Rightarrow15b\left(b-2\right)=360\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=6\left(tm\right)\\b=-4\left(l\right)\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}a=4\\b=6\end{cases}}\). 

số xe to là 4

số xe nhỏ là 6

Gọi số người dự họp và số ghế có trong phòng lần lượt là \(a,b\)(\(a,b\inℕ\)) 

Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}a=5b+9\\a=6b-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=59\\b=10\end{cases}}\)(thỏa mãn)

Ta dễ có bất đẳng thức: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+c^2+2ac+b^2+d^2+2bd\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)(**)

Nếu ac + bd < 0 thì bất đẳng thức (**) luôn đúng

Nếu ac + bd\(\ge\)0 thì (**)\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy (*) được chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\)\(=\sqrt{\left(b^2-ab+\frac{a^2}{4}\right)+\frac{3a^2}{4}}+\sqrt{\left(b^2-bc+\frac{c^2}{4}\right)+\frac{3c^2}{4}}\)\(=\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3a^2}{4}}+\sqrt{\left(\frac{c}{2}-b\right)^2+\frac{3c^2}{4}}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{c}{2}-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{3\left(a+c\right)^2}{4}}=\sqrt{a^2+ac+c^2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

\(ĐK:x\ne-y\)

Ta có: \(8\left(x^2+y^2\right)+4xy=13-\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)\(\Leftrightarrow5\left(x^2+2xy+y^2\right)+3\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10=23\)\(\Leftrightarrow\left(5\left(x+y\right)^2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+10\right)+3\left(x-y\right)^2=23\)\(\Leftrightarrow5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\)(1)

Lại có: \(2x+\frac{1}{x+y}=1\Leftrightarrow\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\\\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)+\left(x-y\right)=1\end{cases}}\)(*)

Đặt \(x+y+\frac{1}{x+y}=u;x-y=v\)thì hệ (*) trở thành \(\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\\u+v=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5u^2+3v^2=23\left(3\right)\\v=1-u\left(4\right)\end{cases}}\)

Thay (4) vào (3), ta được: \(5u^2+3\left(1-u\right)^2=23\Leftrightarrow2\left(u-2\right)\left(4u+5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2\\u=-\frac{5}{4}\end{cases}}\)

* Th1: \(u=2\Rightarrow v=-1\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=2;x-y=-1\)

Thay x = y - 1 vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=2\)ta được: \(2y-1+\frac{1}{2y-1}=2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2=0\Leftrightarrow y=1\)(t/m \(y\ne\frac{1}{2}\)) suy ra x = 0

* Th2: \(u=-\frac{5}{4}\Rightarrow v=\frac{9}{4}\)hay \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4};x-y=\frac{9}{4}\)

Thay \(x=y+\frac{9}{4}\)vào \(x+y+\frac{1}{x+y}=\frac{-5}{4}\)ta được: \(2y+\frac{9}{4}+\frac{1}{2y+\frac{9}{4}}=-\frac{5}{4}\)(dễ thấy phương trình này vô nghiệm)

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(0,1\right)\)

Gọi chiều dài mảnh vườn là x ( x > 0 )

=> Chiều rộng mảnh vườn = 720/x ( m )

Tăng chiều dài 6m và giảm chiều rộng 4m

=> Chiều dài mới = ( x + 6 )m và chiều rộng mới = ( 720/x - 4 )m

Khi đó diện tích mảnh vườn không đổi

=> Ta có phương trình : \(x\cdot\frac{720}{x}=\left(x+6\right)\left(\frac{720}{x}-4\right)\)( bạn tự giải nhé )

Giải phương trình thu được 2 nghiệm x₁ = -36 ( loại ) và x₂ = 30 ( nhận )

=> Chiều dài mảnh vườn = 30m

Chiều rộng mảnh vườn = 720/30 = 24m