Theo đề:  \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=4\Rightarrow8=\sqrt{4\left(a+1\right)}+\sqrt{4\left(b+1\right)}\)\(\le\frac{4+\left(a+1\right)}{2}+\frac{4+\left(b+1\right)}{2}=5+\frac{a+b}{2}\Rightarrow a+b\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: \(P=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{6^2}{2}\right)^2}{2}=162\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 3

\(ĐK:x\ge-1\)

Bình phương hai vế của phương trình: \(\left(4x-1\right)^2\left(x^3+1\right)=\left(2x^3+2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2x\left(4x^3+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{2;0;\sqrt[3]{\frac{-3}{4}}\right\}\)

Thử lại chỉ có \(x=2,x=\sqrt[3]{\frac{-3}{4}}\)thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{2;\sqrt[3]{\frac{-3}{4}}\right\}\)

Hơi có vấn đề rồi

G/s \(\hept{\begin{cases}\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\\p=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=6⋮6\\x^2+y^2+z^2=14⋮̸6\end{cases}}\)

vãi, đã nói là  p > 3 mà olm xóa câu tl còn khóa nick , nát thế

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{x\left(2x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3x\left(2x+y\right)}\le\frac{5x+y}{2\sqrt{3}}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{5y+x}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}\le\frac{6\left(x+y\right)}{2\sqrt{3}}=\frac{3\left(x+y\right)}{\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left(2x+y\right)}+\sqrt{y\left(2y+x\right)}}\ge\frac{x+y}{\frac{3}{\sqrt{3}}\left(x+y\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

Giả sử \(100\)viết được thành tổng của \(k\)số tự nhiên liên tiếp, số hạng đầu tiên là \(n+1\). 

Ta có: \(100=\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+...+\left(n+k\right)\)

\(100=kn+\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

\(200=k\left(2n+k+1\right)\)

Suy ra \(k,2n+k+1\)đều là ước của \(200\). 

Ta có \(200=2^3.5^2\), \(k< 2n+k+1\), \(k\)và \(2n+k+1\)khác tính chẵn lẻ nên ta có bảng sau: 

Vậy ta có các cách biểu diễn số \(100\)thành tổng các số tự nhiên liên tiếp như sau: 

- \(100=100\).

- \(100=18+19+20+21+22\).

- \(100=9+10+11+12+13+14+15+16\). 

giả sử k là số tự nhiên liên tiếp n+1,n+2,...n+k . n,k lớn hơn hoặc bằng 2 cố tổng bằng 100

ta có (n+1)+(n+2).k/2=100

=>(2n+k+1).k=200

nhận xét 2n+k+1>k;(2n+k +1)-k=2n+1 là một số lẻ

từ đó ta có các trường hợp 

k=5=>n=17,k=8=>n=8

Ta có: \(\left(x+2y\right)\left(3x+4y\right)=96\) ( x,y nguyên)

Lại có: \(3x+4y-\left(x+2y\right)=2x+2y\) ( chẵn)

=> 3x+4y , x+2y cùng chẵn hoặc cùng lẻ ( 1)

Mà (x+2y)(3x+4y)=96 chẵn 

=> 3x+4y, x+2y cùng chẵn hoặc là một chẵn 1 lẻ ( 2)

Từ (1) và (2) => 3x+4y, x+2y cùng chẵn

Ta có bảng sau: 

Vậy ...

x=4; y=1

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx+\left(m-1\right)y=3m+4\\\left(d_2\right):2mx+\left(m+1\right)y=m-4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx-3m-4=\left(1-m\right)y\\\left(d_2\right):2mx+4-m=-\left(m+1\right)y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):\frac{m}{1-m}x-\frac{3m+4}{1-m}=y\\\left(d_2\right):-\frac{2m}{m+1}x+\frac{m-4}{m+1}=y\end{cases}}\) khi đó ta có:

Để (d₁) // (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}\ne\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=3\) 

Đề (d₁) cắt (d₂) thì: \(\frac{m}{m-1}\ne\frac{2m}{m+1}\Rightarrow m\ne\left\{0;3\right\}\)

Để (d₁) trùng (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}=\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=0\)

m=0,m=3

Toạ độ giao điểm của các đường thẳng mx-2y=3 và 3x+my =4 là nghiệm của hpt \(\hept{\begin{cases}mx-2y=3\\3x+my=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3mx-6y=9\\3mx+m^2y=4m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+6\right)y=4m-9\\3x+my=4\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x+\frac{4m^2-9m}{m^2+6}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=4-\frac{4m^2-9m}{m^2+6}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=\frac{9m+24}{m^2+6}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3m+8}{m^2+6}\\y=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{cases}}\)

Để giao điểm nằm trong góc phần tư IV 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\\frac{4m-9}{m^2+6}< 0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3m+8>0\\4m-9< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>\frac{-8}{3}\\m< \frac{9}{4}\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-8}{3}< m< \frac{9}{4}\)

Để \(m\inℤ\Rightarrow m\in\left\{0,\pm1,\pm2\right\}\)

5