Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)

Lại có : \(x\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=4\)( theo AM-GM )

=> \(\frac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)

=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

Áp dụng Cô-si, ta được: \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{b^2}{4}\right)+\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\ge\left|ab\right|+2\Rightarrow\left|ab\right|\le2\)hay \(-2\le ab\le2\)(/*)

\(\Rightarrow S=ab+2009\ge2007\)

Đẳng thức xảy ra khi a = -1; b = 2 hoặc a = 1; b = -2

* Chú ý: Với đánh giá (/*) thì ta còn tìm được GTLN của S = 2011 khi a = 1; b = 2 hoặc a = 2; b = 1 hoặc a = -1; b = -2 hoặc a = -2; b = -1

\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\)

\(=\frac{x^3}{2xy}+\frac{y^3}{2xy}+\frac{y^3}{2yz}+\frac{z^3}{2yz}+\frac{z^3}{2zx}+\frac{x^3}{2zx}\)

\(=\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z

Sử dụng bđt phụ sau: với a, b là các số dương thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy ta có:

\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)( bđt luôn đúng với mọi \(a,b\ge0\))

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng bđt phụ ta có: với x, y, z là các số dương thì:

\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{2xy}+\frac{yz\left(y+z\right)}{2yz}+\frac{zx\left(z+x\right)}{2zx}\)

\(=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)( đpcm )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

mèo

Cặp số \(\left(3;y\right)\)là 1 nghiệm của phương trình \(3x-6y=9\)

\(\Rightarrow\)Thay \(x=3\)và \(y=y\)vào phương trình ta được:

\(9-6y=9\)\(\Leftrightarrow6y=0\)\(\Leftrightarrow y=0\)

Vậy \(y=0\)