Ta có:

\(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!}=nC_{n-1}^{k-1}\). 

Áp dụng ta được: 

\(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

Mà ta lại có:

 \(2^{n-1}=\left(1+1\right)^{n-1}=C_{n-1}^0.1^0.1^{n-1-0}+C_{n-1}^1.1^1.1^{n-1-1}+...+C_{n-1}^{n-1}.1^{n-1}.1^0\)

\(=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó ta có đpcm. 

🤨🤨🤨

Em đưa vào cả câu văn/đoạn văn (ngữ cảnh) chứa từ này để cô giải đáp cho chuẩn xác nhé!

Để xét dãy tăng, dãy giảm, bạn tính \(u_{n+1}-u_n\).

- Nếu \(u_{n+1}-u_n>0\) với \(n\) là số tự nhiên thì dãy là dãy tăng.

- Nếu \(u_{n+1}-u_n< 0\) với \(n\) là số tự nhiên thì dãy là dãy giảm. 

Áp dụng: 

A: \(u_{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)+1}=\dfrac{n+1}{n+2}\)

\(n_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)^2-n\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0\)

với \(n\) là số tự nhiên.

Do đó \(u_n\) là dãy tăng. 

Bạn làm tương tự với các dãy còn lại. 

B: Dãy giảm. 

C: Dãy không tăng không giảm. 

D: Dãy tăng. 

Điều kiện xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\8+5x-y\ge0\\2-x+2y\ge0\\3y+5\ge0\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) tương đương với: 

\(x+2+y+2+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=8+5x-y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=2x-y+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+2x+2y+4=\left(2x-y+2\right)^2\\2x-y+2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2-5xy+6x-6y=0\) (với \(2x-y+2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(4x-y+6\right)=0\) (với \(2x-y+2\ge0\))

\(\Leftrightarrow x=y\) (vì \(4x-y+6=2x-y+2+2\left(x+2\right)\ge0\), dấu "\(=\)" xảy ra khi \(x=y=-2\) khi đó \(3y+5=-1< 0\) không thỏa mãn điều kiện xác định).

Với \(x=y\) thế vào phương trình (2) ta được: 

\(x^2+3x+4=\sqrt{10+5x}+\sqrt{3x+5}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+\left(x+3-\sqrt{5x+10}\right)+\left(x+2-\sqrt{3x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+\dfrac{\left(x+3\right)^2-\left(5x+10\right)}{x+3+\sqrt{5x+10}}+\dfrac{\left(x+2\right)^2-\left(3x+5\right)}{x+2+\sqrt{3x+5}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)\left(1+\dfrac{1}{x+3+\sqrt{5x+10}}+\dfrac{1}{x+2+\sqrt{3x+5}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\) (vì theo điều kiện thì ...\(>0\))

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\).

Thử lại ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left(x;y\right)\) là \(\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right),\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\).

Bài thơ được sáng tác khi nhà thơ mắc bệnh phong tại Quy Hòa nhưng lại viết về cảnh và người "Đây thôn Vĩ Dạ" gợi cho người đọc cảm nghĩ: xót thương cho tác giả, giờ đây tác giả không còn cơ hội trở lại chốn cũ thôn Vĩ năm xưa. Giờ đây thôn Vĩ chỉ còn lại trong hồi ức và nỗi nhớ. Bài thơ là tiếng lòng của một con người yêu tha thiết đời, tha thiết người nhưng bị hiện thực cay đắng ngăn cản. Vượt lên trên cảm xúc tiêu cực và tuyệt vọng, ông đã sáng tác nên những áng thơ bất hủ càng khiến chúng ta hâm phục hơn bao giờ hết