Nếu: a=0 thì hiển nhiên đúng. Tương tự với b=0

Nếu a;b>=1 thì Gọi d=UCLN(a,b)

a=da'; b=db'  với (a',b')=1.

ta có: d(a'^2.d+b'^2.d-a') chia hết cho 2d^2.a'.b'

nên: d(a'^2+b'^2)-a' chia hết cho d

do đó: a' chia hết cho d

nên d=1 từ đó ta có:

\(a^2+b^2-a⋮a\text{ nên: }b^2⋮a\left(\text{mà: }\left(a,b\right)=1\right)\text{ nên: }a=1\)

Vậy: a là số chính phương

Tại sao lại suy ra được \(d\left(a'^2+b'^2\right)⋮d\)thế ?

a) đk: \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne4\end{cases}}\)

Ta có:

\(P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}-\frac{5\sqrt{a}+2}{a-4}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)+2\left(\sqrt{a}-2\right)\sqrt{a}-5\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

\(P=\frac{a+3\sqrt{a}+2+2a-4\sqrt{a}-5\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

\(P=\frac{3a-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

\(P=\frac{3\sqrt{a}\cdot\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}\)

b) Ta có: \(P=2\Leftrightarrow3\sqrt{a}=2\sqrt{a}+4\Rightarrow\sqrt{a}=4\Rightarrow a=16\)

Vậy a = 16

Sửa VP=\(x+\frac{4}{x}\)

ĐKiện: \(x\ne0\)\(x\ne0\)Nhân liênh hợp vế trái ta được:

\(x^2+4=\left(\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+2}\right)\cdot\frac{x^2+4}{x}\)

hay \(\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+2}=x\left(1\right)\)

Kết hợp (1) với phương trình đã cho ta được

\(\sqrt{x^2+x+2}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x^4+x^2+2x-4=0;x>0\)

\(\left(x-1\right)\left(x^3+2x^2+4x+4\right)=0,x>0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy x=1 là nghiệm của phương trình

\(ĐK:x>0\)

\(\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+2}=x+\frac{4}{x}\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x^2+x+6}-3\right)+\left(\sqrt{x^2+x+2}-2\right)=x+\frac{4}{x}-5\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\sqrt{2x^2+x+6}+3}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{x}\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{2x+3}{\sqrt{2x^2+x+6}+3}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}+\frac{4}{x}-1\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{2x+3}{\sqrt{2x^2+x+6}+3}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}+\frac{4}{x}-1\ne0\)nên x - 1 = 0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 1