Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\frac{4}{a+b+c}=4.\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le\frac{-8}{3}\)

\(\Rightarrow M=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)

\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{3}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=c\\a+b+c=6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{3}{2}\\c=3\end{cases}}}\)

Vậy GTLN của M là 1/3

Với \(n\inℕ^∗\) ta có:

\(\frac{1}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{1}{4k\left(k+1\right)+1}< \frac{1}{4k\left(k+1\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...\)\(+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{4}\)

Áp dụng bánh Cô-si ta có:

\(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc};b^2+ac\ge2b\sqrt{ac};c^2+ab\ge2c\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a\sqrt{bc}}+\frac{1}{b\sqrt{ac}}+\frac{1}{c\sqrt{ab}}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{abc}\le\frac{1}{2}\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{abc}=\frac{a+b+c}{2abc}\)

Dấu'=' xảy ra <=> a=b=c

Áp dụng bđt phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ta có : 

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)(theo giả thiết)

Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

p/s: bđt phụ ấy bạn tự chứng minh nhá

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)(1)

Lại có \(a+b+c\le1\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le1\)=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Đẳng thức xayra <=> a = b = c = 1/3

kho the

 Lấy Phương trình đầu trừ phương trình thứ 2, ta có:

14y=40-> y=20/7

thế y=20/7 vào phương trình đầu, ta có:

4x= 16-20= -4; -> x=-1

vậy x=-1 và y=20/7

Đặt \(\left\{\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right\}\rightarrow\left\{a;b\right\}\)

Khi đó hệ phương trình sẽ trở thành : \(\hept{\begin{cases}5a+3b=1\\2a+b=-1\end{cases}}\)\(\left(đk:x;y\ne0\right)\)

\(< =>\hept{\begin{cases}5a+3b=1\\6a+3b=-3\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a=-4\\2a+b=-1\end{cases}}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}a=-4\\-8+b=-1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a=-4\\b=7\end{cases}}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=a\\\frac{1}{y}=b\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x.a=1\\y.b=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{7}\end{cases}}}\)(tmđk)

Vậy ...

x;y khác 0

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{x}+\frac{3}{y}=1\\\frac{6}{x}+\frac{3}{y}=-3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}=-4\)

=> x = -4 

thay vao tìm y