Bài 3: 

Gọi số mét khối nước mỗi máy bớm được thì đầy bể lần lượt là \(a,b,c\left(m^3\right);a,b,c>0\).

Vì bể có dung tích \(355m^3\)nên \(a+b+c=355\).

Vì để bơm được mỗi mét khối nước của ba máy tương ứng là \(3,5,7\)phút nên: \(3a=5b=7c\Leftrightarrow\frac{a}{35}=\frac{b}{21}=\frac{c}{15}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{35}=\frac{b}{21}=\frac{c}{15}=\frac{a+b+c}{35+21+15}=\frac{355}{71}=5\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5.35=175\\b=5.21=105\\c=5.15=75\end{cases}}\)

Bài 4: 

a) \(\Delta CDA=\Delta CDE\left(c.g.c\right)\)

(\(CA=CE,\widehat{ACD}=\widehat{ECD},CD\)chung) 

Suy ra \(\widehat{CED}=\widehat{CAD}=90^o\)

suy ra \(DE\perp BC\).

b) \(AM//CD,AD//CM\)suy ra \(AMCD\)là hình bình hành

suy ra \(AM=CD\).

c) Xét tam giác \(BKC\)có: \(CN\perp BK,BA\perp CK\), \(D\)là giao điểm của \(BA,CN\)

suy ra \(D\)là trực tâm của tam giác \(BKC\).

suy ra \(KD\perp BC\)mà \(DE\perp BC\)

suy ra \(K,D,E\)thẳng hàng. 

Đổi: \(1,2=\frac{6}{5}\).

Gọi số tiền góp được của hai lớp 7A và 7B lần lượt là \(a,b\)(nghìn đồng) \(a,b>0\).

Vì số tiền góp được của lớp 7A và 7B là \(1,2\)nên \(\frac{a}{b}=\frac{6}{5}\Leftrightarrow\frac{a}{6}=\frac{b}{5}\).

Vì lớp 7A góp nhiều hơn lớp 7B là \(20\)nghìn nên \(a-b=20\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{6}=\frac{b}{5}=\frac{a-b}{6-5}=\frac{20}{1}=20\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=20.6=120\\b=20.5=100\end{cases}}\)

a) Ta có : ΔABCcânΔABCcân => 180°−A2180°−A2 

    Lại có : 4AD = AE=>=>ADE cân tại A=>=>\frac{180° - A}{2}$ 

    Ta thấy : ∠AED=∠ECB∠AED=∠ECB . Mà 2 góc này ở vị trí sole trong => DE//DCDE//DC

b) Ta có : AB=AC(ΔABCcân)AB=AC(ΔABCcân)  } => AB−AD=AC−AEAB−AD=AC−AE 

                AD=AE(gt)AD=AE(gt)               } =>     DB=ECDB=EC

Xét ΔMBDΔMBD và ΔMCEΔMCE có :

   MB=MC(Mlàtrungđiểm)MB=MC(Mlàtrungđiểm)  } => ΔMBD=ΔMCEΔMBD=ΔMCE

   ∠DBM=∠ECM(ΔABC)∠DBM=∠ECM(ΔABC)          }     (c.g.c)(c.g.c)

   DB=EC(cmt)DB=EC(cmt)                         } 

Xét ΔAMBΔAMB và ΔAMCΔAMC có :

AMchungAMchung                                  } => ΔAMB=ΔAMCΔAMB=ΔAMC

MB = MC (M là trung điểm}MB = MC (M là trung điểm}     }      (c.c.c)(c.c.c)

AB=AC(ΔABCcân)AB=AC(ΔABCcân)                 } => ∠BAM=∠CAM∠BAM=∠CAM (2 góc tương ứng) 

Xét ΔAMDΔAMD và ΔAMEΔAME có : 

AMchungAMchung                                           }  =>  ΔAMD=ΔAMEΔAMD=ΔAME                            

AD=AE(gt)AD=AE(gt)                                       }     (c.g.c)(c.g.c)

∠DAM=∠EAM(ΔAMB=ΔAMC)∠DAM=∠EAM(ΔAMB=ΔAMC)  }

Xét 

\(S=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}-...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}}\)

nên \(4S=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}-...-\frac{1}{2^{2002}}=1-\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}}\right)-\frac{1}{2^{2004}}\)

hay \(4S=1-S-\frac{1}{2^{2004}}\Rightarrow S=\frac{1}{5}-\frac{1}{5.2^{2004}}< \frac{1}{5}=0.2\) vậy ta có đpcm

\(\frac{6n+10}{2n+1}=\frac{6n+3+7}{2n+1}=3+\frac{7}{2n+1}\inℤ\Leftrightarrow\frac{7}{2n+1}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(7\right)=\left\{-7,-1,1,7\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-4,-2,0,3\right\}\).