cau 1 ne:
a^2 + b^2 + c^2 + 3
theo bat dang thuc cosi ban se co
a^2 + a + 1 >= 3a
b^2 + b + 1 >= 3b
c^2 + c + 1 >= 3c
cong 3 ve bat dang thuc lai voi nhau ban se co
a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c) + 3>= 3(a + b + c)
=> a^2 + b^2 + c^2 + 3 >= 2(a + b + c)
dau = xay ra <=> a=  b= c = 1
ma theo de bai ta lai co a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2(a + b + c)
=> a = b = c = 1 (dpcm)
b) (a - b)^2 + (b-c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
hay (a + b - 2b)^2 + (b + c - 2c)^2 + (c + a - 2a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
dat. a + b = A
 b + c = B
c + a = C
=> ban se co:
(A - 2b)^2 + (B - 2c)^2 + (C - 2a)^2 = (A - 2c)^2 + (B - 2a)^2 + (C - 2b)^2
tu day ban nhan pha ra roi rut gon 2 ve cho nhau ban se co
Ab + Bc + Ca = Ac + Ba + Cb
hay (a + b)b + (b + c)c + (c + a)a = (a + b)c + (b + c)a + (c + a)b
hay ab + b^2 + bc + c^2 + ac + a^2 = 2ab + 2bc + 2ac
hay a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0
hay 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
hay (a-b)^2 + (b-c)^2 +(c - a)^2 = 0
dau = xay ra <=> a = b = c (dpcm)
c) a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2) + (c+d)(c^2 - cd + d^2) (**)
ban nhan thay a + b + c + d = 0
=> a + b = - c - d
thay vao pt (**) ban se co
-(c + d)(a^2 - ab + b^2) + (c + d)(c^2 - cd + d^2)
(c + d)(c^2 - cd + d^2 -a^2 + ab - b^2)
hay (c + d)(ab - cd + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)) (***)
ban co a + b = - c - d
hay (a + b)^2 = (c + d)^2
hay a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + d^2 + 2cd
hay c^2 + d^2 - a^2 - b^2 = 2ab - 2cd
thay vao pt (***) ban se co
(c + d)(ab - cd + 2ab - 2cd)
hay (c +d)(3ab - 3cd) = 3(c+d)(ab - cd) (dpcm)
 

hại nao ghê

x²+2y²-2xy+2y-8y+20

=(x²-2xy+y²+2x-2y+1)+(y²-6y+9)+10

=(x-y+1)²+(y-3)²+10

Do (x-y+1)²>0

(y+3)²>0

=>(x-y+1)²+(y-3)²>0

=>(x-y+1)²+(y-3)²+10>0

Vậy x²+2y²-2xy+2y-8y+20 luôn luôn dương

trong tương tự đó bạn **** bạn kết bạn ko

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của Như - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu"=" xảy ra <=>x=y y=z z=x=>x=y=z

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=8xyz\Leftrightarrow x=y=z\)(ĐPCM)
 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:

\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\Rightarrow x+z\ge2\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)(Vì x,y,z > 0)

A B C D A B C D

Trên hình vẽ là 2 hình thang cân và đều có AC vuông góc với AD, nhưng hai hình thang có các góc hoàn toàn khác nhau.

Vậy đề bài của bạn có vẫn đề không?

chắc bạn "Ác Mộng" đang cần gấp lắm đây

a+b+c=0

=>(a+b+c)³=0

=>a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+3a²c+3ac²+6abc=0

=>a³+b³+c³+(3a²b+3ab²+3abc)+(3b²c+3bc²+3abc)+(3a²c+3ac²+3abc)-3abc=0

=>a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc

Do a+b+c=0

=>a³+b³+c³=3abc(ĐPCM)

 Ta có :(a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²c+3b²a+3c²a+3c²b+6abc

            (a+b+c)³=a³+b³+c³+(3a²b+3a²b+3abc)+(3b²c+3b²a+3abc)+(3c²a+3c²b+3abc)-3abc

            (a+b+c)³=a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)-3abc

            (a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc

  thay a+b+c=0 ta được 

              0³=a³+b³+c³+3.0(ab+bc+ac)-3abc

             0=a³+b³+c³-3abc

=>a³+b³+c³=3abc

Cách 2 

Vì a,b,c dương nên áp dụng BĐT Cô-si ta có

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}>=2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}=a}\)

\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}>=2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}=b}\)

\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}>=2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}=c}\)

=>  \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}>=a+b+c\)

<=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)