x^2+4y^2-6x-4y+15

=x²-6x+9+4y²-4y+1+5

=(x-3)²+(y-2)²+5

vì (x-3)²\(\ge\)0;(y-2)²\(\ge\)0 (với mọi x;y)

nên (x-3)²+(y-2)²+5\(\ge\)5

dấu "=" xảy ra khi

x-3=0 và y-2=0

x=3 và y=2

vậy GTNN của x^2+4y^2-6x-4y+15 là 5 tại x=3 và y=2

ĐK x >= -16 và x - 4 >= 0 => x >=4

\(\sqrt{x+16}=x-4\Rightarrow x+16=\left(x-4\right)^2\Leftrightarrow x+16=x^2-8x+16\)

\(\Rightarrow x^2-9x=0\Leftrightarrow x\left(x-9\right)=0\)

=> x = 0 hoặc x- 9 = 0 => x = 0(loại)  và x = 9

a) pt a <=> 3x+1=0     hoặc        x-2000=0         hoặc      3x+6000=0

           <=> x=-1/3      hoặc        x=2000            hoặc      x=-2000

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\) 

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1^2}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)(\(\left(a+b\right)^2\ge4a\))

Tương tự: \(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4};\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\)

\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\right)\ge4\left(\frac{x}{x^6+y^4}+\frac{y}{y^6+z^4}+\frac{z}{z^6+x^4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

với x,y,z >0 áp dụng bđt cosi ta có:

\(x^6+y^4>=2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}< =\frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\)

\(y^6+z^4>=2\sqrt{y^6z^4}=2y^3z^2\Rightarrow\frac{2y}{y^6+z^4}< =\frac{2y}{2y^3z^2}=\frac{1}{y^2z^2}\)

\(z^6+x^4>=2\sqrt{z^6x^4}=2z^3x^2\Rightarrow\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{2z}{2z^3x^2}=\frac{1}{z^2x^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\left(1\right)\)

với x,y,z>0 áp dụng bđt cosi ta có:

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{y^4}}=\frac{2}{x^2y^2}\)

\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{y^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{y^2z^2}\)

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{x^2z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x^4}+\frac{2}{y^4}+\frac{2}{z^4}>=\frac{2}{x^2y^2}+\frac{2}{y^2z^2}+\frac{2}{x^2z^2}\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\left(2\right)\)

từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2x}{y^6+z^4}+\frac{2x}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1