b) là gì vậy bạn , viết nốt đi rồi mình làm cho

\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\)  chứ không như đề bài trên nhé.

Ta có:

\(\sqrt{b^3+1}=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)

Vì \(b>0\)nên \(b+1>0\)và \(b^2-b+1\ge\frac{3}{4}>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)\ge2\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow b^2+2\ge2\sqrt{b^3+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2}{2}\ge\sqrt{b^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{b^2+2}\le\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\le\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2b}{c^2+2}\le\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}\left(2\right)\);

\(\frac{2c}{a^2+2}\le\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\left(4\right)\)

Ta có:

\(\frac{2a}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2-b^2\right)}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2\right)}{b^2+2}-\frac{ab^2}{b^2+2}=a-\frac{ab^2}{b^2+2}\)

Vì b dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(b^2+2\ge2b\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1}{2b\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{b^2+2}\le\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge\frac{-ab}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\left(5\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2b}{c^2+2}\ge b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}\left(6\right)\);

\(\frac{2c}{a^2+2}\ge c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(7\right)\)

Từ (5), (6), (7), ta được:

\(\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}+b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}+c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(8\right)\)

\(5x+6y=13\)

\(\Leftrightarrow5x=13-6y\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{13-6y}{5}=\frac{15-2-5y-y}{5}=3-y-\frac{y+2}{5}\)

Vì x\(x\in Z\)nên \(3-y-\frac{y+2}{5}\inℤ\)

Mà  \(y\inℤ\)nên \(3-y\inℤ\)Suy ra \(\frac{y+2}{-5}\inℤ\)

\(\frac{y+2}{-5}\inℤ\Leftrightarrow y+2⋮5\)

Đặt \(y+2=5k\left(k\inℤ\right)\)thì \(y=5k-2\)

Do đó:

\(x=3-y-\frac{y+2}{5}=3-5k+2-\frac{5k}{5}=5-5k-k=5-6k\)

Vậy phương trình có tập nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(5k-2;5-6k\right)\)với \(k\inℤ\)

(tiếp) Do đó \(x=3-y-\frac{y+2}{5}=3-5k+2-\frac{5k}{5}=5-5k-k=5-6k\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(5-6k;5k-2\right)\)với \(k\inℤ\)

x1³+x2³=(x1+x2)³-3x1x2(x1+x2)=2³-3(-m²-4)2=10

<=> 6m²=-22 <=> m\(\in\varnothing\)

m( x² - 4x + 3 ) + 2( x - 1 ) = 0

<=> mx² - 4mx + 3m + 2x - 2 = 0

<=> mx² - 2( 2m - 1 )x - 2 = 0

ĐKXĐ : m ≠ 0

Δ = b² - 4ac = [ -2( 2m - 1 ) ]² + 8

= 4( 2m - 1 )² + 8

Dễ thấy Δ ≥ 8 > 0 ∀ m

hay pt luôn có nghiệm với mọi m ≠ 0 ( đpcm )

a, Ta có : \(A=\frac{\sqrt[]{x}-2}{x+\sqrt{x}+1};x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\)

\(A=\frac{4-2}{16+4+1}=\frac{2}{21}\)

b, Với \(x\ge0;x\ne1\)ta có : 

\(B=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt[]{x}}\)

\(=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}\right)^2-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)