a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

Xét tứ giác ABDI có \(\widehat{IAB}+\widehat{IDB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI

Tâm là trung điểm của BI

b: Ta có: ABDI nội tiếp

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BID}\)

c: Xét ΔCDI vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{DCI}\) chung

Do đó: ΔCDI~ΔCAB

=>\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CI}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CA\cdot CI\)

Tự mà làm 

Cho đường tròn ( O: R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.Trên d lấy một điểm M bất kì, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm).Kẻ cát tuyến MDE (D nằm giữa M và E, cắt bán kính OA). Gọi I là trung điểm DE...

Từ giả thiết:

\(2024abc\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge\dfrac{3^3}{2024^3}\)

Lại có:  

\(2024abc\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right).3\sqrt[3]{abc}\ge a+b+c.\sqrt[3]{\dfrac{3^3}{2024^3}}\)

\(\Rightarrow2024abc\ge\dfrac{3}{2024}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{abc}\le\dfrac{2024^2}{3}\)

Từ đó:

\(Q=\dfrac{a}{a^2+bc}+\dfrac{b}{b^2+ca}+\dfrac{c}{c^2+ab}\)

\(Q\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2.bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2.ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2.ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\right)\)

\(Q\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}\right)\le\dfrac{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\dfrac{a+b+c}{abc}}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\dfrac{2024^2}{3}}=1012\)

\(Q_{max}=1012\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{2024}\)

PT vô nghiệm khi \(\Delta\) <0

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-9\right)\)

\(=4-4\left(m^2-9\right)=4-4m^2+36=-4m^2+40\)

Để phương trình vô nghiệm thì Δ<0

=>\(-4m^2+40< 0\)

=>\(-4m^2< -40\)

=>\(m^2>10\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{10}\\m< -\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

N=3 thì n^3+4n-5 không chia hết cho 8 nha bạn

Bài 3:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=3x-2\)

=>\(x^2-3x+2=0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=1^2=1\)

Khi x=2 thì \(y=2^2=4\)

Vậy: (P) giao (d) tại A(1;1); B(2;4)

bài 2:

a: Thay x=2 vào y=-x+4, ta được:

\(y=-2+2=2=y_A\)

Vậy: A(2;2) thuộc (d)

b: Thay x=2 và y=2 vào y=ax², ta được:

\(a\cdot2^2=2\)

=>4a=2

=>\(a=\dfrac{1}{2}\)

Khi a=1/2 thì (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+4\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2+x-4=0\)

=>\(x^2+2x-8=0\)

=>(x+4)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=-4 thì \(y=-\left(-4\right)+4=8\)

Vậy: Giao điểm thứ hai là B(-4;8)

c: O(0;0); A(2;2); B(-4;8)

\(OA=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(OB=\sqrt{\left(-4-0\right)^2+\left(8-0\right)^2}=4\sqrt{5}\)

\(AB=\sqrt{\left(-4-2\right)^2+\left(8-2\right)^2}=6\sqrt{2}\)

Vì \(OA^2+AB^2=OB^2\)

nên ΔAOB vuông tại A

=>\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AO=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}=12\)

EM HỎI  BÀI 6 Ạ

 Xét 2024 số: \(3^1-1,3^2-1,...,3^{2024}-1\). Một số khi chia cho 2023 có 2023 số dư là 0, 1, 2,..., 2022. Do đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số \(3^i-1\) và \(3^j-1\) có cùng số dư khi chia cho 2023. 

 Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(1\le i< j\le2024\). Khi đó \(\left(3^j-1\right)-\left(3^i-1\right)⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^j-3^i⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^i\left(3^{j-i}-1\right)⋮2023\)

Vì \(ƯCLN\left(3^i,2023\right)=1\) nên từ đây suy ra \(3^{j-i}-1⋮2023\)

Vậy, tồn tại số nguyên dương \(j-i\) mà \(3^{j-i}-1⋮2023\), ta có đpcm.