(Hưng Yên)

Cho \(a,b,c\) là ba số lớn hơn 1. Chứng minh rẳng      \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\).

(Lạng Sơn)

Cho \(x,y\) là hai số dương thở mãn điều kiện  \(2x+3y=5\). Chứng minh rằng \(\sqrt{xy+2x+2y+4}+\sqrt{\left(2x+2\right)y}\le5\).

(Nghệ An)

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng   \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{1}{2}\).

(Nghệ An)

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y\le z\). Chứng minh rằng 

      \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\).

(Nghệ An)

Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện   \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng 

     \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi nào?

(Nghệ An)

Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn các điều kiện  \(0\le a,b,c\le1\) và \(a+b+c\ge2\). Chứng minh rằng

        \(ab\left(a+1\right)+bc\left(b+1\right)+ca\left(c+1\right)\ge2\).

(Quảng Bình)

Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện  \(x>y\) và \(xy=1\). Chứng minh rằng   \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\).

(Thanh Hóa)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(a^2+2b^2\le3c^2\) . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{3}{c}\).

Cho x⁴ -2( m + 1) x² + 2m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

rút gọn biểu thức^{\(P=\left(\frac{\left(x\sqrt{x}-1\right)}{x-\sqrt{x}}-\frac{\left(x\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}}\right):\left[\frac{2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x-1}\right]\)}