\(S=3+3^2+3^3+...+3^{44}+3^{45}\)

\(\Rightarrow S=3\left(1+3^1+3^2+...+3^{44}+3^{44}\right)\)

\(\Rightarrow S=3.\dfrac{3^{44+1}-1}{3-1}=\dfrac{3\left(3^{45}-1\right)}{2}\)

\(S=3+3^2+3^3+...+3^{44}+3^{45}\)

\(3S=3.\left(3+3^2+3^3+...+3^{44}+3^{45}\right)\)

\(3S=3^2+3^3+3^4+...+3^{45}+3^{46}\)

\(3S-S=\left(3^2+3^3+3^4+...+3^{45}+3^{46}\right)-\left(3+ 3^2+3^3+...+3^{44}+3^{45}\right)\)

\(2S=3^{46}-3\)

\(S=\dfrac{3^{46}-3}{2}\)

\(10^1.10^2.10^3....10^8\)

\(=10^{1+2+3+...+8}\)

\(=10^{36}\)

\(10^1.10^2.10^3...10^{\infty}=10^{1+2+3+...+\infty}=10^{\infty}\)

Theo đề bài tập hợp S là :

\(S=\left\{101;110\right\}\)

\(\Rightarrow S\) có 2 phần tử

Ta có tập hợp \(S=\left\{101;110\right\}\)

\(\Rightarrow S\) có \(2\) phần tử.

Vậy \(S\) có \(2\) phần tử.

a, (\(x\times\) 7 + 8): 5 = 10

     \(x\times\) 7 + 8 = 10 \(\times\) 5

     \(x\times\) 7 + 8  = 50

    \(x\) \(\times\) 7         = 50 - 8

    \(x\times\) 7          = 42

    \(x\)               = 42: 7

    \(x\)              = 6

b, (\(x\) + 5) \(\times\) 19 : 13 = 57

    (\(x\) + 5) \(\times\) 19           = 57 x 13

    (\(x\) + 5) \(\times\) 19         = 741

    \(x\) + 5                     = 741: 19

     \(x\) + 5                     = 39

     \(x\)                          = 39 - 5

     \(x\)                         =   34

c, 4 x ( 36 - 4 x \(x\)) = 64

           36 - 4 x \(x\)    = 64 : 4

           36  - 4 x \(x\)  = 16

                   4 x \(x\)  = 36 - 16

                   4 x \(x\)  = 20

                        \(x\)   = 20: 4

                         \(x\)  = 5

d, 7,6:1,9 x \(x\) = 3,2

             4 x \(x\)  = 3,2

                  \(x\)  = 3,2: 4

                  \(x\)  = 0,8

Ta có: 

\(10^{12}=1...0\) 

\(\Rightarrow10^{12}+2=1..0+2=1...2\)

Mà: 

\(1...2=1+0+...+0+2=3\) ⋮ 3

\(\Rightarrow10^{12}+2\) ⋮ 3

Ta có :

\(10^{12}+2=100...0\left(12.số0\right)+2\) có tổng các chữ số là \(1+0+...+0+2=3⋮3\) ( 12 chữ số 0)

\(\Rightarrow10^{12}+2⋮3\)

Chiều dài hình chữ nhật nhỏ:

30 - 3 = 27 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật nhỏ:

25 - 3 = 22 (m)

Diện tích hình chữ nhật lớn:

30 . 25 = 750 (m²)

Diện tích hình chữ nhật nhỏ:

27 . 22 = 594 (m²)

Diện tích lối đi:

750 - 594 = 156 (m²)

Diện tích viên gạch:

50 . 50 = 2500 (cm²) = 0,25 (m²)

Số viên gạch lát lối đi:

156 : 0,25 = 624 (viên)

Số tiền bác An dùng để mua gạch:

624 . 14000 = 8736000 (đồng)

1, \(\dfrac{2}{x}\) \(\in\) N; ( Đk \(x\) \(\ne\) 0)

     \(\dfrac{2}{x}\) \(\in\) N ⇔ 2 ⋮ \(x\) ⇒ \(x\) \(\in\)Ư(2) ⇒ \(x\) \(\in\) {1; 2}

2, \(\dfrac{3}{x}\) \(\in\) N (đk \(x\) \(\ne\) 0) 

      \(\dfrac{3}{x}\) \(\in\) N ⇔ 3 ⋮  \(x\) ⇒ \(x\) \(\in\) Ư(3) = {1; 3}

3, \(\dfrac{4}{x}\) \(\in\) N (đk \(x\) \(\ne\) 0) 

 \(\dfrac{4}{x}\)  \(\in\) N ⇔  4 ⋮ \(x\)  ⇒ \(x\) \(\in\) Ư(4) = { 1; 2; 4}

4, \(\dfrac{5}{x}\) \(\in\) N (đk \(x\) \(\ne\) 0) 

      \(\dfrac{5}{x}\) \(\in\) N ⇔5 ⋮ \(x\) ⇒ \(x\) \(\in\) Ư(5) = { 1; 5}

5, \(\dfrac{6}{x}\) \(\in\) N đk \(x\) \(\ne\) 0; 

     \(\dfrac{6}{x}\) \(\in\) N ⇔ 6 ⋮ \(x\) ⇒ \(x\) \(\in\) Ư(6) = {1; 2; 3; 6}

6, \(\dfrac{9}{x+1}\) \(\in\)N đk \(x\) \(\ne\) -1

     \(\dfrac{9}{x+1}\) \(\in\) N ⇔ 9 ⋮ \(x\) + 1 ⇒ \(x+1\) \(\in\) Ư(9) = {1; 3; 9}

⇒ \(x\) \(\in\) {0; 2; 8}

7, \(\dfrac{8}{x+1}\) \(\in\) N (đk \(x\) \(\ne\) -1)

     \(\dfrac{8}{x+1}\) \(\in\) N ⇔ 8 ⋮ \(x\) + 1  ⇒ \(x\) + 1  \(\in\) Ư*) = { 1; 2; 4; 8}

\(x\in\) {0; 1; 3; 7}

a) \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{90}\right)\cdot100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{9\cdot10}\right)\cdot100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right)\cdot100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\cdot100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{10}\cdot100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow90-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)=90-89\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{103}{50}\right)=1\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{103}{50}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{11}{25}\)

b) \(x\cdot9,85+x\cdot0,15=0,1\)

\(\Rightarrow x\cdot\left(9,85+0,15\right)=0,1\)

\(\Rightarrow x\cdot10=0,1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{0,1}{10}\)

\(\Rightarrow x=0,01\)

c) \(\dfrac{2}{5}+2022x=\dfrac{4}{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{5}+2022x=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow2022x=\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow2022x=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{0}{2022}\)

\(\Rightarrow x=0\)

a) \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{90}\right).100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\left(1\right)\)

Ta có :

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{90}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{9}{10}.100-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)\right]:\dfrac{1}{2}=89\)

\(\Rightarrow90-\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)\right].2=89\)

\(\Rightarrow\left[\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)\right].2=90-89\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}:\left(x+\dfrac{206}{100}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{206}{100}=\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{103}{50}=\dfrac{5}{2}.\dfrac{2}{1}\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{103}{50}=5\)

\(\Rightarrow x=5-\dfrac{103}{50}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{250}{50}-\dfrac{103}{50}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{147}{50}\)

Khi không thêm 1 con của phụ huynh thì được số học sinh là :

100 - 1 = 99 ( con )

Tỉ số giữa số học sinh hiện có so với số học sinh ban đầu là :

\(1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=2,75\)

Số học sinh ban đầu là :

\(99 : 2,75 =36\left(\text{học sinh}\right)\)

Đáp số : \(36\) học sinh

Bài 117:  Tìm số tự nhiên \(x\) biết rằng:

a, 270 \(⋮\) \(x\), 690 \(⋮\) \(x\)  và 5 < \(x\) < 30

270 = 2.3³.5;        690 = 2.3.5.23

ƯCLN(270; 690) = 2.3.5 = 30

270⋮\(x\);      690 \(⋮\) \(x\)  ⇒ \(x\) \(\in\) ƯC(270; 690) 

 ⇒ \(x\) \(\in\){ 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Vì 5 <  \(x\)  < 30 nên \(x\) \(\in\) { 6; 10; 15}

117b,  \(x\)_{max và}  120 ⋮ \(x\);     105 ⋮ \(x\) 

⇒ \(x\) là ước chung lớn nhất của 120 và 105 

120 = 2³.3.5;    105 = 3.5.7    

ƯCLN (120; 105) =  3.5 = 15 ⇒ \(x\) = 15