\(\frac{1-x_1}{1+x_2}+\frac{1-x_2}{1+x_1}=\frac{\left(1-x_1\right)\left(1+x_1\right)+\left(1-x_2\right)\left(1+x_2\right)}{\left(1+x_2\right)\left(1+x_1\right)}=\frac{1-x_1^2+1-x_2^2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}\)

\(=\frac{2-\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2}{3+x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-2}{x_1x_2+3}=\frac{4m^2+2}{2m^2-7}\)

Suy ra \(\left(2x_1x_2-2\right)\left(2m^2-7\right)=\left(x_1x_2+3\right)\left(4m^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(4m^2-14\right)-4m^2+14=x_1x_2\left(4m^2+2\right)+12m^2+6\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2=\frac{-16m^2+8}{16}=-m^2+\frac{1}{2}\)

Từ đây ta viết được phương trình bậc hai phải tìm theo Thalet đảo. 

chứng minh bđt \(\sqrt{3x^2+2xy+3y^2}\ge\sqrt{2}\left(x+y\right)\)bằng cách bình phương 2 vế 

rồi dùng bđt \(3\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)là xong nhaaaaaa

\(\hept{\begin{cases}4x+5y=3\\x-3y=5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x+5y=3\left(1\right)\\4x-12y=20\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) theo vế => 17y = -17 => y = -1

Thế y = -1 vào (2) => x + 3 = 5 <=> x = 2

Vậy ( x ; y ) = ( 2 ; -1 )

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)-4\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+6=0\left(ĐK:x>0\right)\)

Đặt \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=a\left(a>0\right)\)thì \(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=a^2\), do đó \(x+\frac{1}{x}=a^2-2\). Phương trình trở thành:

\(\left(a^2-2\right)-4a+6=0\).

\(\Leftrightarrow a^2-4a+6-2=0\).

\(\Leftrightarrow a^2-4a+4=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow a-2=0\).

\(\Leftrightarrow a=2\)(thỏa mãn \(a>0\)).

Với \(a=2\)thì \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=2\).

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\).

\(\Rightarrow x+1=2\sqrt{x}\).

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=0\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{1}\).

\(\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=1\).

4,75 giờ là đúng

a) Thay x = 25 vào biểu thức A , ta có 

\(A=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}\)

b) \(B=\frac{x-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(B =\frac{x+1+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(B =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

a, Ta có : \(x=25\Rightarrow\sqrt{x}=5\)

Thay vào biểu thức A ta được : 

\(A=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}\)

Vậy với x = 25 thì A = 3/4 

b, Với \(x\ge0;x\ne1\)

 \(B=\frac{x-5}{x-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{4}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x-5-2\left(\sqrt{x}-1\right)+4\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=\frac{x-5-2\sqrt{x}+2+4\sqrt{x}+4}{x-1}\)

\(=\frac{x+1+2\sqrt{x}}{x-1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}\pm1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

c, Ta có P = A/B hay \(P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{P}< \frac{1}{2}\)hay \(\sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}}< \frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{4}< 0\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x}-8-\sqrt{x}-1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Rightarrow3\sqrt{x}-9>0\)do \(4\left(\sqrt{x}+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}>9\Leftrightarrow\sqrt{x}>3\Leftrightarrow x>9\)

Đễ x=2 là nghiệm của pt thì ( a² - a - 3 ).4 + ( a + 2 ).2 - 3a² = 0

<=> 4a² - 4a - 12 + 2a + 4 - 3a² = 0

<=> a² - 2a - 8 = 0(*)

Δ = b² - 4ac = 4 + 32 = 36

Δ > 0, áp dụng công thức nghiệm thu được a₁ = 4 ; a₂ = -2

Vậy với a = 4 hoặc a = -2 thì phương trình nhận x = 2 làm nghiệm

+) Với a = 4

pt đã cho trở thành 9x² + 6x - 48 = 0

<=> 3x² + 2x - 16 = 0

Theo hệ thức Viète ta có : x₁ + x₂ = -b/a = -2/3

<=> 2 + x₂ = -2/3 <=> x₂ = -8/3

+) Với a = -2

pt đã cho trở thành 3x² - 12 = 0

<=> x² - 4 = 0 <=> ( x - 2 )( x + 2 ) = 0

<=> x = 2 hoặc x = -2

Vậy nghiệm còn lại của pt là x = -8/3 với a = 4 ; x = -2 với a = -2