a, ta có \(\widehat{ADB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => \(\widehat{ADB}=90^0\)hay \(\widehat{EDB}=90^0\)

Xét tứ giác BDEH có : 

\(\widehat{EHB}=90^0\left(CH\perp AB\right)\)

\(\widehat{EDB}=90^0\left(cmt\right)\)

=> tugiac BDEH noi tiep

b,

ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)( BDEH noitiep cmt)

mà \(\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90^0\)(góc ACB=90 độ, góc nt chắn nửa đg tròn)

  \(\widehat{ACH}+\widehat{CAB}=90^0\)( góc AHC=90 độ vì  CH vuông với AB)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACH}\)

=> \(\widehat{ACH}=\widehat{ADC}\left(=\widehat{ABC}\right)\)hay góc ADC= góc ACE

Xét tam giác ACE và tam giác ADC

\(\widehat{ADC}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

góc CAD chung

=> tam giác ACE đồng dạng với tam giác ADC (g-g)

=> \(\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

=> \(AC^2=AD.AE\)(1)

Tam giác ABC vuông tại C có AH là đường cao

=> BC²= BH.BA  (hethucluong) (2)        

(1);(2) => \(AC^2+BC^2=AE.AD+BH.BA\)

mà AC²+ BC²= AB² ( pytago trong tam giác ABC vuông ở C)

=> \(AB^2=AE.AD+BH.BA\)

a) Tứ giác EFMK có góc E và góc M vuông (vì đều bằng các góc chắn nửa đường tròn) nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có 

\widehat{HAF}=\widehat{ABE}HAF=ABE (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung);

\widehat{EAM}=\widehat{EBM}EAM=EBM ( góc nội tiếp cùng chắn cung \stackrel\frown{EM}EM⌢)

mà \widehat{HAF}=\widehat{EAM}HAF=EAM ($AE$ là tia phân giác góc IAM)

nên \widehat{ABE}=\widehat{EBM}ABE=EBM, hay BE là tia phân giác góc ABM.

Mặt khác BE cũng là đường cao trong tam giác ABF nên tam giác ABF cân tại B.

c) Tam giác HAK có AE vừa là phân giác vừa là đường cao nên nó cân tại A. Suy ra E là trung điểm HK.

Tứ giác HFKA có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

d) HFKA là hình thoi nên FK // HA, suy ra tứ giác IFKA là hình thang.

Để IFKA nội tiếp được đường tròn thì nó phải là hình thang cân, hay tam giác MIA vuông cân tại M.

Khi đó, \widehat{IAM}=45^{\circ}\Rightarrow\widehat{MAB}=45^{\circ},IAM=45∘⇒MAB=45∘, tam giác MAB vuông cân tại M. Do đó M là điểm chính giữa cung nửa đường tròn AB.

N M P 45 10cm

Ta có \(\widehat{P}=45^{\text{o}}\Rightarrow\Delta MNP\)vuông cân tại M

=> MN = MP

mà MN² + MP² = NP²

=> 2MP² = NP²

=> MP² = NP² : 2 = 100:2 = 50 

=> MP = \(\sqrt{50}\)

=> \(S_{MNP}=\frac{MN.MP}{2}=\frac{\sqrt{50}.\sqrt{50}}{2}=\frac{50}{2}=25\)

M N P 45^0 10

\(\sin45^0=\frac{MP}{NP}\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{MP}{10}\Rightarrow MP=\frac{10\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan45^0=\frac{MP}{MN}\Rightarrow1=\frac{10\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{MN}\Rightarrow\frac{1}{MN}=\frac{2}{10\sqrt{2}}\Rightarrow MN=\frac{10\sqrt{2}}{2}\)

\(S_{MNP}=\frac{1}{2}.MN.MP=\frac{1}{2}.\frac{10\sqrt{2}}{2}.\frac{10\sqrt{2}}{2}=\frac{200}{8}=\frac{50}{2}\)( đvdt ) 

Gọi x(m) là chiều dài sân trường ( x > 0 )

=> Chiều rộng sân trường là 4800/x (m)

Tăng chiều rộng 20m => Chiều rộng mới = 4800/x + 20 (m)

Giảm chiều dài 20m => Chiều dài mới = x - 20 (m)

Theo bài ra ta có phương trình : \(\left(x-20\right)\left(\frac{4800}{x}+20\right)=4800\)( bạn tự giải tiếp )

=> x = -60 (ktm) hoặc x = 80 (tm)

Vậy chiều dài sân trường là 80m ; chiều rộng sân trường là 60m