-2x² - 3x + 5

\(=-2\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\right)=-2\left(x^2-2.\frac{3}{4}x+\frac{9}{16}+\frac{31}{16}\right)\)

\(=-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{31}{8}\)

Có: \(\left(x-\frac{3}{4}\right)^2\ge0,\forall x\)

\(\Rightarrow-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2\le0,\forall x\)\(\Rightarrow-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{31}{8}\le-\frac{31}{8},\forall x\)

\(\Rightarrow-2x^2-3x+5\le-\frac{31}{8},\forall x\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{4}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\frac{3}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow-2x^2-3x+5\text{ đạt max}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\frac{3}{4}\)

Vậy, ...

Đặt \(y=\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow y-\sqrt{x^2+7}=\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x^2+7}\right)^2=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y\sqrt{x^2+7}+x^2+7=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2+x^2-x^3-2=2y\sqrt{x^2+7}\)

Ta thấy VT là số nguyên nên VP cũng phải là số nguyên

\(\Rightarrow x^2+7\)phải là số chính phương

Đặt \(x^2+7=z^2\)với z là số nguyên dương và z > x

\(\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(z-x\right)=7\)

Tới đây làm nốt nha

em ko bt ạ

ta có :

\(x^2+0,25-x=x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{2^2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\)

\(A=x^2-4x+7=x^2-4x+4+3=\left(x-2\right)^2+3\ge3>0\forall x\)

Vậy ta có đpcm 

\(B=4x^2-12x+11=4x^2-12x+9+2=\left(2x-3\right)^2+2\ge2>0\forall x\)

Vậy ta có đpcm 

\(C=x^2-x+1=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

Vậy ta có đpcm 

\(\hept{\begin{cases}A=x^2-4x+4+3=\left(x-2\right)^2+3\ge3>0\\B=4x^2-12x+9+2=\left(2x-3\right)^2+2\ge2>0\\C=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\end{cases}}\)