( 1 số phần cơ bản sẽ làm tắt nha, cái đấy bạn sẽ tự trình bày rõ nhá, nhất là chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ rút ngắn lại )

a)\(\widehat{ABO}=\widehat{AEO}=90^0\)

\(\Rightarrow ABEO\)nội tiếp

=> A,B,E,O thuộc 1 đường tròn

b) Xét tam giác AMC và tam giác ACN có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAC}chung\\\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMC~\Delta ACN\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AN}\)

\(\Rightarrow AC^2=AM.AN\)

c) \(\widehat{MJC}+\widehat{MFC}=180^0\)

\(\Rightarrow MJCF\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MCJ}\)

Mà \(\widehat{MCJ}=\widehat{MBC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MFJ}=\widehat{MBC}\left(1\right)\)

CMTT \(\widehat{MFI}=\widehat{MCB}\left(2\right)\)

Xét tam giác MBC có: \(\widehat{CMB}+\widehat{MCB}+\widehat{MBC}=180^0\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{MFJ}+\widehat{MFI}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CMB}+\widehat{PFQ}=180^0\)

\(\Rightarrow MPFQ\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MFQ}\)mà \(\widehat{MFQ}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MBC}\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow PQ//BC\)

d)  Xét tam giác MIF và tam giác MFJ có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MIF}=\widehat{MFJ}\left(=\widehat{MBF}\right)\\\widehat{MJF}=\widehat{MFI}\left(=\widehat{MCF}\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta MIF~\Delta MFJ\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{MF}=\frac{MF}{MJ}\)

\(\Rightarrow MI.MJ=MF^2\)

MI.MJ lớn nhất \(\Leftrightarrow MF^2\)lớn nhất

Mà \(MF=\frac{1}{2}MN\)

\(\Rightarrow MF^2=\frac{1}{4}MN^2\)

\(\Rightarrow MF\)lớn nhất <=> MN lớn nhất \(\Leftrightarrow MN\)là đường kính (O)

\(\Leftrightarrow M\)là điểm chính giữa cung BC

Vậy MI.MJ lớn nhất <=> M là điểm chính giữa cung BC.

( KO hiểu thì hỏi mình nha )

tại sao MF=1/2MN ?

a. Xét (o) , có: 
\(AB\perp CD=\left\{O\right\}\)

=> \(\widehat{COB}=\widehat{COA=}90^o\)

Mà \(M\in CD\)

=> \(\widehat{MOB}=\widehat{MOA}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{ANB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB
=> \(\widehat{ANB}=90^o\)

Xét tứ giác AOMN, có:

\(\widehat{ANB+}\widehat{MOA}=90^o+90^o=180^o\)

\(\widehat{ANB}\)và \(\widehat{MOA}\)là 2 góc đối nhau

=> AOMN là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm)

\(4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\)

\(=4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^2}.\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}=4x-\sqrt{8}+|x|\)

có còn rút gọn đc nữa không nhỉ

Thanks Nghĩa nha, làm như thế là được rồi^^

Bài này đừng làm nha, bài này mình viết sai đề nhé.

bạn lớp mấy mà giải toán lớp 9 vậy

day nhe ban

Ta có:\(\frac{1}{\left(k +1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(k+1\right)-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)

\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)

Cho k=1,2,,,,n rồi cộng vế với vế ta có;

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+...\)

\(+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)

              Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bớt đăng câu linh tinh đi

Ba an hơn an 23 tuổi mà an sinh năm 2000 thì lấy 2000 -23 cho nhanh còn hỏi lằng nhà lằng nhằng ? 

Ta có: \(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\left(đk:x>0\right)=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x+1}\right)^2}}=\frac{|\sqrt{x}-1|}{\sqrt{x}+1}\)

mình nghĩ cách này cũng được :

\(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\left(x>0\right)=\sqrt{\frac{\left(x+1-2\sqrt{x}\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{x^2+2x+1-4x}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{|x-1|}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\frac{|\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)|}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{|\sqrt{x}-1|}{\sqrt{x}+1}\)

Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều của kim đồng hồ). Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau. Do đó:

- Hình a, b hệ thống bánh răng chuyển động được.

- Hình c, hệ thống bánh răng không chuyển động được.

Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ,bánh xe kia quay ngược chiều kim đồng hồ).Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau.Do đó:

- Hình a,b hệ thống bánh răng chuyển động được.

- Hình c hệ thống bánh răng không chuyển động được.

nhớ tk mk nha

Với x,y,z > 0 có :\(Q=\frac{x+3z}{x+y}+\frac{z+3x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}\)

\(=\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{2y}{x+z}\)

Đặt P = \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{2y}{x+z}\)

=> P + 1 = \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\left(\frac{2y}{x+z}+1\right)\)

= \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{x+z+2y}{x+z}=\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+z}+\frac{y+z}{x+z}\)

= \(\left(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+y}{x+z}\right)+\left(\frac{x+z}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}\right)\ge2+2=4\)

=> P \(\ge\)3 (Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z)

Đặt T = \(\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}=2\left(\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}\right)\)

\(=2\left(\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}-3\right)\)

\(=2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-6\)

\(=\left(x+y+y+z+z+x\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-6\)

\(=1+\frac{x+y}{y+z}+\frac{x+y}{z+x}+\frac{y+z}{x+y}+1+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}+\frac{z+x}{y+z}+1-6\)

\(=\left(\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{y+x}\right)+\left(\frac{x+y}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\right)+\left(\frac{z+x}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}\right)-3\)

\(\ge2+2+2-3=3\)(Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z)

Mà Q = P + T \(\ge\) 3 + 3 = 6 

Dấu "=" xảy ra <=> x =y = z

Vậy Min Q = 6 <=> x = y = z