Ta có \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\left(x,y,z>0\right)\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\).

\(P=\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+y^2}\right)\)\(\left(x,y,z>0\right)\).

Ta có: 

\(\sqrt{2y^2+2yz+2z^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y^2+2yz+z^2\right)+\frac{3}{4}\left(y^2-2yz+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\).

Ta có:

\(\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z>0\).

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\forall y;z>0\).

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y,z>0\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y;z>0\).

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}x\left(y+z\right)\forall x;y;z>0\left(1\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}y\left(x+z\right)\forall x;y;z>0\left(2\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}z\left(x+y\right)\forall x;y;z>0\left(3\right)\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]=\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+z^2}+y\sqrt{2z^2+zx+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\)

\(\left(4\right)\).

Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\)\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{x}}+1.\frac{1}{\sqrt{y}}+1.\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\).

\(\Leftrightarrow\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=1^2=1\)

(vì\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\)).

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)\(\left(5\right)\).

Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:

\(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=9\).

Vậy \(minP=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=9\).

ko biết

ok bye

A B C H 6 4,8

* Áp dụng hệ thức 

  \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{25}{576}-\frac{1}{36}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{64}\Rightarrow AC=8\)cm 

* Áp dụng hệ thực : \(AC^2=HC.BC\)(*)

mà theo Pytago : \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=36+\frac{576}{25}=\frac{1476}{25}\)

\(\Rightarrow BC=\frac{6\sqrt{41}}{5}\)Thay vào (*) ta được 

\(HC.\frac{6\sqrt{41}}{5}=64\Rightarrow HC\approx8,33\)cm 

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}-\frac{2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow1+y^2+xy+xy^3+1+x^2+xy+x^3y-2-2x^2-2y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2xy-x^2-y^2+xy^3+x^3y-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

(đúng do \(xy>1,\left(x-y\right)^2\ge0\))

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, mà ta biến đổi tương đương nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. 

Do đó ta có đpcm. 

O A B C M N K H I P

a) ^BCH = ^BKH = 90⁰ => Tứ giác BCHK nội tiếp.

b) \(\Delta\)ACH ~ \(\Delta\)AKB => AK.AH = AB.AC = 2R.R/2 = R²

c) Gọi MI cắt (O) tại P khác M.

A là trung điểm cung MN => KA là phân giác ^MKN

Xét \(\Delta\)MIK: MK =KI, KA là phân giác ^MKI => KA vuông góc MI, mà KA vuông góc KB nên MI || KB (1)

Đường tròn (O) có hai dây cung KB và MP song song với nhau => MKBP là hình thang cân

Suy ra ^KIM = ^KMI (vì KI=KM) = ^BPM => KI || BP (2)

Từ (1),(2) => BKIP là hình bình hành => BK = PI  (3)

\(\Delta\)KIM ~ \(\Delta\)PIN => \(\Delta\)PIN cân tại P => PN = PI (4)

Dễ thấy MN là trung trực của OA => MO = MA = OA => ^NPI = ^MON/2 = ^MOA = 60⁰ (5)

(3);(4);(5) => NI = BK.

a) Khi \(m=-2\), phương trình (1) trở thành:

\(x^2+4x+3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-3\end{cases}}\)

b) \(\Delta'=m^2+4m+5>0\forall m\). Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

c) \(x_1\)là một nghiệm của phương trình (1), suy ra :

\(x_1^2-2mx_1-4m-5=0\Leftrightarrow\frac{1}{2}x_1^2-mx_1-2m-\frac{5}{2}=0\)

Theo hệ thức Viet: \(x_1+x_2=2m\)

Khi đó: \(\left(\frac{1}{2}x_1^2-mx_1-2m-\frac{5}{2}\right)+x_1+x_2+19=762019\)

\(\Rightarrow2m+19=762019\Leftrightarrow m=381000\)

\(P=2x-3\sqrt{xy}+y=2x-3\sqrt{xy}+y+\left(-x-\sqrt{xy}+4y-4\sqrt{y}+16\right)\)

\(=x-4\sqrt{xy}+5y-4\sqrt{y}+16\)

\(=\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-2\right)^2+12\ge12\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=2\sqrt{y}\\\sqrt{y}-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16\\y=4\end{cases}}\).

Với \(x=16,y=4\)thỏa mãn giả thiết. 

Vậy \(minP=12\). 

đề gì vậy zời

\(x\ge2y\Rightarrow x-y\ge y\Rightarrow x\left(x-y\right)\ge2y^2\Rightarrow x^2-xy-2y^2\ge0\).

\(\left(x-2y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-4xy+4y^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-xy-2y^2\right)+\left(x^2-4xy+4y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{5}{2}xy\)

\(A=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{\frac{5}{2}xy}{xy}=\frac{5}{2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=2y>0\).