650 mét nha

không mất tính tổng quát giả sử  $a\leqslant b\leqslant c$

đặt 

x=a+b+c

y=ab+bc+ac

z=abc

ta có bđt thức đầu tiên sẽ tương đương với 

$(x+3a)(x+3b)(x+3c)> 25(x-a)(x-b)(x-c)$

$\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}(a+b+c)+9x(ab+bc+ac)+27abc> 25(x^{3}-x^{2}(a+b+c)+x(ab+bc+ac)-abc)$

$\Leftrightarrow x^{3}-4xy+13z> 0$ (1)

đặt S=VT

ta có

S=$(a+b+c)^{3}-4(a+b+c)(ab+bc+ac)+13abc=(a+b+c)((a+b+c)^{2}-4(ab+bc+ac))+13abc=(a+b+c)((a+b-c)^{2}-4ab)+13abc= (a+b+c)(a+b-c)^{2}+ab(9c-4b-4c)$

vậy (1) tương đương với

$(a+b+c)(a+b-c)^{2}+ab(9c-4b-4c)> 0$

do $0< a\leqslant b\leqslant c$

nên bđt trên hiển nhiên đúng 

vậy được đpcm

Viết có dấu đi bạn ơi

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\)( svac-xơ )

Ta có bđt phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\left(đpcm\right)\)

Ngược dấu rồi Châu ơi

Có \(a^2+b^2+c^2=3\) và a;b;c>0 \(\Rightarrow a^2< 3\Rightarrow a< \sqrt{3}< 2\Rightarrow2-a>0\)

Có \(\left(a-1\right)^2.a\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{2-a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}\)

Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta có đpcm

A B C O D E F H I

a) AD là tiếp tuyến của (O) => AD vuông góc AO; \(\Delta\)ABC cân tại A có tâm ngoại tiếp O => AO vuông góc BC

Vậy AD || BC (đpcm).

b) Dễ thấy ^AEF = ^BEA; ^EAF = ^EBA => \(\Delta\)EAF ~ \(\Delta\)EBA => EA² = EF.EB (đpcm).

c) Ta có ^FDE = ^FCB (vì DA || BC) = ^DBE (vì BD là tiếp tuyến của (O)) => \(\Delta\)DEF ~ \(\Delta\)BED

=> ED² = EF.EB = EA² => E là trung điểm của AD, do đó IE là đường trung bình \(\Delta\)OAD

=> IE vuông góc AD => A,E,I,H cùng thuộc đường tròn đường kính AI (1)

Lại có E là trung điểm cạnh AD của tam giác AHD vuông tại H

=> EH² = EA² = EF.EB => \(\Delta\)EFH ~ \(\Delta\)EHB => ^EHF = ^EBH = ^EAF => A,H,E,F cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ (1);(2) => F nằm trên đường tròn đường kính AI => AI vuông góc IF (đpcm).