A I B H C D

a) Xét tứ giác BHDI có :

\(\widehat{BID}=90^o\)

\(\widehat{BHD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BID}+\widehat{BHD}=180^o\)

Mà 2 góc \(\widehat{BID}\)và \(\widehat{BHD}\)là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác BHDI nội tiếp

b) Ta có \(BD\perp AC\); \(DI\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác 

\(\Rightarrow BD^2=BI.BA\)

Tương tự cũng có : \(BD^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BI.BA=BH.BD\)

Ta lại có :

\(\widehat{ABD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}-\widehat{BAD}=90^o-\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{CBO}\)

\(x+\sqrt{x^2+3}=t,t>0\Rightarrow t^2=2x^2+3+2x\sqrt{x^2+3}\)

Phương trình ban đầu tương đương với: 

\(t^2+t-12=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\left(l\right)\\t=3\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(t=3\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=3\Rightarrow x^2+3=9-6x+x^2\Leftrightarrow x=1\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn. 

\(\hept{\begin{cases}3x^2-2xy=160\\x^2-3xy-2y^2=8\end{cases}}\Rightarrow20\left(x^2-3xy-2y^2\right)-\left(3x^2-2xy\right)=17x^2-58xy-40y^2=0\)

Với \(y=0\)không thỏa mãn hệ phương trình. 

Với \(y\ne0\): \(17\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{58x}{y}-40=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=4\\\frac{x}{y}=-\frac{10}{17}\end{cases}}\).

Đến đây xét hai trường hợp dễ dàng tìm được nghiệm của hệ. 

Kết quả, thu được các nghiệm là: \(\left(-8,-2\right),\left(-5,\frac{17}{2}\right),\left(5,-\frac{17}{2}\right),\left(8,2\right)\).

Bình phương hai vế ta được: 

\(x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow x-y-z=2\sqrt{yz}-2\sqrt{3}\)

\(VT\)là số hữu tỉ, \(VP\)là số vô tỉ, do đó đẳng thức trên chỉ xảy ra khi 

\(\hept{\begin{cases}x-y-z=0\\yz=3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4,y=1,z=3\\x=4,y=3,z=1\end{cases}}\).

\(x^2+8x=3^{2y}\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2-3^{2y}=16\Leftrightarrow\left(x+4-3^y\right)\left(x+4+3^y\right)=16\)

Vì \(x+4+3^y>x+4-3^y\)nên 

Ta xét bảng giá trị: 

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)

=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra<=> x =  y = z = 1

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1

\(A=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sqrt{2+\sqrt{3}}=\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}+1}\)

\(=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=3-1=2=\sqrt{4}>\sqrt{3}\).

\(a,b\)là hai nghiệm phân biệt của phương trình: \(x^2-2021x-c=0\).

Theo Viet: 

\(\hept{\begin{cases}a+b=2021\\ab=-c\end{cases}}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2021}{-c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2021}{c}=0\)

là sao bạn nhỉ