Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\left(2\right)\\\left(y-1\right)^2\ge0\left(3\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\end{cases}\left(\forall x;y\inℝ\right)}}\)

\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}\ge\left(2x+2y+2\right)\left(2x+2y+2\right)\left(x;y\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow VT_{\left(1\right)}\ge4\left(x+y+1\right)^2\)(4)

Đặt \(3x+y+2=a;3y+x+b\Rightarrow a+b=4\left(x+y+1\right)\)

Lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a;b\inℝ\right)\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{16\left(x+y+1\right)^2}{4}\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y+1\right)^2\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)=VP_{\left(1\right)}\left(6\right)\)

Từ (4) và (6) => \(VT_{\left(1\right)}\ge VP_{\left(1\right)}\)

\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}=VP_{\left(1\right)}\)

Dấu '=' xảy ra đồng thời ở (2), (3), (5) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\3x+y+2=3y+x+2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\) 

a, \(x^2+4\left|x-2\right|-x-1=0\)

Với \(x\ge2\)phương trình có dạng : 

\(x^2+4x-8-4x-1=0\Leftrightarrow x^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x=3\left(tm\right);x=-3\left(ktm\right)\)

Với \(x< 2\)phương trình có dạng : 

\(x^2-4x+8-4x-1=0\Leftrightarrow x^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{7}\left(ktm\right);x=-\sqrt{7}\left(tm\right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { \(-\sqrt{7};3\)} 

Má, gõ xong bấm nhầm phát mất hết luôn :((

a) Phương trình có 2 nghiệm: x₁=1;x₂=3

b)Phương trình có 1 nghiệm: \(x=\frac{\sqrt{21}-5}{4}\)

c) ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}2x\ne0\\\frac{6x-1}{2x}>0\\6x-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\\frac{6x-1}{2x}>0\\x\ne\frac{1}{6}\end{cases}}}\)(T chưa học giải bất phương trình dạng thương)

Ta đặt \(\sqrt{\frac{6x-1}{2x}}=t\Rightarrow\frac{2x}{6x-1}=\frac{1}{t^2}\) 

Pt đã cho tương đương: \(2t=\frac{1}{t^2}+1\Leftrightarrow2t^3-t^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow2t^3-2t^2-t^2+t-t+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t^2-t-1\right)\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(2t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Với \(t=1\Leftrightarrow6x-1=2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Ta thử lại nghiệm, thay \(x=\frac{1}{4}\)vào pt ban đầu ta đc:

\(2\sqrt{\frac{\frac{6}{4}-1}{\frac{2}{4}}}-\frac{\frac{2}{4}}{\frac{6}{4}-1}-1=0\Leftrightarrow2-1-1=0\Leftrightarrow0=0\)

Vậy pt có 1 nghiệm x=1/4

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

CMTT: \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\)

             \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{ac+a}{2}\)

Cộng từng vế của các bđt ta đc:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

      \(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3\)

Bđt trên được chứng minh

Dấu = xảy ra khi nào =v

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=\frac{2}{2}=1\)

\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{y2}{2y}}=2\)

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3\)

\(< =>2\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

\(< =>x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x+y}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

được chưa ?

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y ≥ 3 ta có :

\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\\frac{1}{2}y=\frac{2}{y}\\x+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

a, sửa đề  \(15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9x-63}-9\sqrt{25x-175}=\sqrt{4x-28}\)ĐK : \(x\ge7\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9\left(x-7\right)}-9\sqrt{25\left(x-7\right)}=\sqrt{4\left(x-7\right)}\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-6\sqrt{x-7}-45\sqrt{x-7}=2\sqrt{x-7}\)

\(\Leftrightarrow-38\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow x=7\)( tmđk ) 

\(PT_1\left(dk:x\ge7\right)< =>15\sqrt{x-7}-2.\sqrt{9}.\sqrt{x-7}-9.\sqrt{25}.\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>\left(15-6-45\right).\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>-36\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

Ta thay 7 khong phai la nghiem cua pt 

Suy ra \(-36\sqrt{x-7}< 0\)Ma \(\sqrt{4x-24}>0\)

=> pt vo nghiem

Với x > 0 

\(M=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow\frac{2-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)

\(\Rightarrow2-\sqrt{x}>0\)do \(2\sqrt{x}>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}>-2\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow0\le x< 4\)

Kết hợp với giả thiết vậy \(0< x< 4\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Xét n=0 ta có 

\(3^{2^{4n+1}}+2=3^{2^1}+2=11\text{ chia hết cho 11}\)

Giả sử điều trên đúng với n=k tức là \(3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11hay }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod\left(11\right)\)

Xét n=k+1

\(3^{2^{4k+5}}=3^{2^{4k+1}\times2^4}\equiv9^{2^4}mod11\left(\text{ do }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\right)\)

mà \(9^{2^4}=9^{16}=3^{32}\equiv3^2mod11=9mod11\text{ Do }3^{30}\equiv1mod11\)

Vậy \(3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\Rightarrow3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11}\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh