ĐK : x ≥ 0

Xét hiệu M - M² ta có : M - M² = M( 1 - M )

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\left(1-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)(1)

Dễ chứng minh (1) > 0 ∀ x ≥ 0

=> M - M² > 0 <=> M > M²

Vậy ... 

\(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\Leftrightarrow2x+2y-3xy-1=0\)

Ta có: \(x+y=\frac{1+3xy}{2}\le\frac{1+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow\frac{3}{8}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+\frac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2}{3}\)(vì \(0< x,y< 1\))

\(P=x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}=x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2-\left(2x+2y-3xy-1\right)}\)

\(=x+y+\sqrt{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}\)

\(=x+y+\sqrt{\left(x+y-1\right)^2}\)

\(=x+y+\left|x+y-1\right|\)

\(=x+y+\left(1-x-y\right)\)

\(=1\)

\(a^2+2b^2+ab=\frac{7}{16}\left(a-b\right)^2+\frac{9}{16}\left(a+\frac{5}{3}b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+2b^2+ab}=\sqrt{\frac{7}{16}\left(a-b\right)^2+\frac{9}{16}\left(a+\frac{5}{3}b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{9}{16}\left(a+\frac{5}{3}b\right)^2}=\frac{3}{4}\left(a+\frac{5}{3}b\right)\)

Tương tự \(\sqrt{b^2+2c^2+bc}\ge\frac{3}{4}\left(b+\frac{5}{3}c\right),\sqrt{c^2+2a^2+ac}\ge\frac{3}{4}\left(c+\frac{5}{3}a\right)\)

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(\sqrt{a^2+2b^2+ab}+\sqrt{b^2+2c^2+bc}+\sqrt{c^2+2a^2+ca}\ge\frac{3}{4}\left(a+\frac{5}{3}b+b+\frac{5}{3}c+c+\frac{5}{3}a\right)\)

\(=2\left(a+b+c\right)\).

Dấu \(=\)khi \(a=b=c\ge0\).

Còn cách khác nè :

Đặt \(P=\sqrt{a^2+2b^2+ab}+\sqrt{b^2+2c^2+bc}+\sqrt{c^2+2a^2+ac}\)

Ta chứng minh \(P\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(2P=\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(a^2+2b^2+ab\right)}+\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(b^2+2c^2+bc\right)}+\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(c^2+2a^2+ac\right)}\)

Áp dụng bđt bunyakovsky ta được:

\(2P\ge a+2b+\sqrt{ab}+b+2c+\sqrt{bc}+c+2a+\sqrt{ac}\)

      \(=3\left(a+b+c\right)+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\ge4\left(a+b+c\right)\left(AM-GM\right)\)

Suy ra \(P\ge2\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\left(2\right)\\\left(y-1\right)^2\ge0\left(3\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\end{cases}\left(\forall x;y\inℝ\right)}}\)

\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}\ge\left(2x+2y+2\right)\left(2x+2y+2\right)\left(x;y\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow VT_{\left(1\right)}\ge4\left(x+y+1\right)^2\)(4)

Đặt \(3x+y+2=a;3y+x+b\Rightarrow a+b=4\left(x+y+1\right)\)

Lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a;b\inℝ\right)\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{16\left(x+y+1\right)^2}{4}\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y+1\right)^2\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)=VP_{\left(1\right)}\left(6\right)\)

Từ (4) và (6) => \(VT_{\left(1\right)}\ge VP_{\left(1\right)}\)

\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}=VP_{\left(1\right)}\)

Dấu '=' xảy ra đồng thời ở (2), (3), (5) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\3x+y+2=3y+x+2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\) 

a, \(x^2+4\left|x-2\right|-x-1=0\)

Với \(x\ge2\)phương trình có dạng : 

\(x^2+4x-8-4x-1=0\Leftrightarrow x^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x=3\left(tm\right);x=-3\left(ktm\right)\)

Với \(x< 2\)phương trình có dạng : 

\(x^2-4x+8-4x-1=0\Leftrightarrow x^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{7}\left(ktm\right);x=-\sqrt{7}\left(tm\right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { \(-\sqrt{7};3\)} 

Má, gõ xong bấm nhầm phát mất hết luôn :((

a) Phương trình có 2 nghiệm: x₁=1;x₂=3

b)Phương trình có 1 nghiệm: \(x=\frac{\sqrt{21}-5}{4}\)

c) ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}2x\ne0\\\frac{6x-1}{2x}>0\\6x-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\\frac{6x-1}{2x}>0\\x\ne\frac{1}{6}\end{cases}}}\)(T chưa học giải bất phương trình dạng thương)

Ta đặt \(\sqrt{\frac{6x-1}{2x}}=t\Rightarrow\frac{2x}{6x-1}=\frac{1}{t^2}\) 

Pt đã cho tương đương: \(2t=\frac{1}{t^2}+1\Leftrightarrow2t^3-t^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow2t^3-2t^2-t^2+t-t+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t^2-t-1\right)\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(2t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Với \(t=1\Leftrightarrow6x-1=2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Ta thử lại nghiệm, thay \(x=\frac{1}{4}\)vào pt ban đầu ta đc:

\(2\sqrt{\frac{\frac{6}{4}-1}{\frac{2}{4}}}-\frac{\frac{2}{4}}{\frac{6}{4}-1}-1=0\Leftrightarrow2-1-1=0\Leftrightarrow0=0\)

Vậy pt có 1 nghiệm x=1/4

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

CMTT: \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\)

             \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{ac+a}{2}\)

Cộng từng vế của các bđt ta đc:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

      \(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3\)

Bđt trên được chứng minh

Dấu = xảy ra khi nào =v

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=\frac{2}{2}=1\)

\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{y2}{2y}}=2\)

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3\)

\(< =>2\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

\(< =>x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x+y}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

được chưa ?

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y ≥ 3 ta có :

\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\\frac{1}{2}y=\frac{2}{y}\\x+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

a, sửa đề  \(15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9x-63}-9\sqrt{25x-175}=\sqrt{4x-28}\)ĐK : \(x\ge7\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9\left(x-7\right)}-9\sqrt{25\left(x-7\right)}=\sqrt{4\left(x-7\right)}\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-6\sqrt{x-7}-45\sqrt{x-7}=2\sqrt{x-7}\)

\(\Leftrightarrow-38\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow x=7\)( tmđk ) 

\(PT_1\left(dk:x\ge7\right)< =>15\sqrt{x-7}-2.\sqrt{9}.\sqrt{x-7}-9.\sqrt{25}.\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>\left(15-6-45\right).\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>-36\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

Ta thay 7 khong phai la nghiem cua pt 

Suy ra \(-36\sqrt{x-7}< 0\)Ma \(\sqrt{4x-24}>0\)

=> pt vo nghiem