\(a.=\left(2x\right)^2-2.2x.2y+\left(2y\right)^2=\left(2x-2y\right)^2\)

\(b.=\left(3x\right)^2-2.3x.2+2^2=\left(3x-2\right)^2\)

a. 4x²+4y²-8xy=(2x)²+(2y)²-8xy

                        =(2x-2y)²

b.9x²-12x+4=(3x)²-12x+2²

                    =(3x-2)²

c.xy²+1/4x²y⁴+1=xy²+(1/2xy²)²+1

                          =(1/2xy²+2)²

Ta có x² + x + 1 = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Vì x > 0 

=> x + 1 > 0

=> x² + x + 1 > x² 

=> (k + 1)² > x² (1)

Lại có x > 0 

=> 2x > x 

=> x² + 1 + 2x > x² + 1 + x 

=> (x + 1)² > x² + x + 1 (2) 

=> (x + 1)² > (k + 1)²

Từ (1) và (2) => x² < (k + 1)² < (x + 1)² (3)

mà k \(\inℤ;x\inℕ\)

=> Không tồn tại k thỏa mãn (3) 

=> x \(\in\varnothing\)

Ta có \(\frac{n^5}{30}+\frac{n^3}{6}+\frac{4n}{5}=\frac{n^5+5n^3+24n}{30}\)

Khi đó n⁵ + 5n³ + 24n 

= n(n⁴ + 5n² + 24)

=  n(n⁴ + 5n² - 6 + 30) 

= n(n⁴ - n² + 6n² - 6) + 30n 

= n[n²(n² - 1) + 6(n² - 1)] + 30n 

= n(n² + 6)(n² - 1) + 30n 

= n(n² - 4 + 10)(n² - 1) + 30n 

= n(n² - 4)(n² - 1) + 10n(n² - 1) + 30n 

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 10(n - 1)n(n + 1) + 30n

Nhận thây (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) \(⋮\)30 (tích 5 số nguyên liên tiếp) (1)

10(n - 1)n(n + 1) \(⋮\)30 (2)

30n \(⋮\)30 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) =>  (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 10(n - 1)n(n + 1) + 30n \(⋮\)30 

=> n⁵ + 5n³ + 24n \(⋮\)30 

=> P \(\inℤ\)(ĐPCM) 

5 phút nữa thì mk sẽ tự giải

\(a=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n-1\right)+1\right]=\left(n-1\right)n\left(n+1\right).\)Là tích của 3 sô tự nhiên liên tiếp

\(a⋮6\) Khi đồng thời chia hết cho 2 và 3

Ta có

a là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 thừa số chắc chắn có ít nhất 1 thừ số chẵn nên \(a⋮2\)

+ Nếu \(n⋮3\Rightarrow a⋮3\)

+ Nếu n chia 3 dư 1 \(\Rightarrow n-1⋮3\Rightarrow a⋮3\)

+ Nếu n chia 3 dư 2 \(\Rightarrow n+1⋮3\Rightarrow a⋮3\)

Vậy \(a⋮3\forall n\)

\(\Rightarrow a⋮6\forall n\)

\(\left(m^3-m+1\right)^2+\left(m^2-3\right)^2-2\left(m^2-3\right)\left(m^3-m+1\right)\)

\(=\left(m^3-m+1\right)^2-2\left(m^2-3\right)\left(m^3-m+1\right)+\left(m^2-3\right)^2\)

\(=[\left(m^3-m+1\right)-\left(m^2-3\right)]^2\)

\(=\left(m^3-m+1-m^2+3\right)^2\)

\(=\left(m^3-m^2-m+4\right)^2\)