\(x^4+2x^3-3x^2-8x-4=0\Leftrightarrow x^3\left(x+2\right)-3x\left(x+2\right)-2\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^3-3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^3-2x^2+2x^2-4x+x-2\right)=0\)(chỗ này bạn tự tách tiếp)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow\)hoặc x=2 hoặc x= -2 hoặc x=-1

đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z thì x,y,z>0 do a,b,c>0

=>x+y+z=a+b+c

có a=(y+z)/2 , b=(z+x)/2 ,c=(x+y)/2

A=(y+z)/2x + (z+x)/2y + (x+y)/2z =1/2[(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)

Áp dụng bđt cosi : x/y+y/x >= 2,y/z+z/y >= 2,z/x+x/z >= 2 

=>A >= 1/2.6=3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z<=>b+c-a=a+c-b=a+b-c<=>a=b=c <=> tam giác đó là tam gíac đều

Áp dụng bđt Cauchy-Schawrz dạng Engel ta có:

A = a^2/ab+ac-a^2  +  b^2/ab+bc-b^2  +  c^2/ac+bc-c^2

A \(\ge\)(a+b+c)^2/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\)1  +  2.(a^2+b^2+c^2)/2.(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)

A \(\ge\) 1 + 2 = 3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

ab+bc+ca \(\le\) a^2+b^2+c^2

<=> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \(\ge\) 0

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\) 0

<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) \(\ge\)0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \(\ge\)0, luôn đúng

a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)

<=> a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca < 0

<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) - a^2 - b^2 - c^2 < 0

<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - a^2 - b^2 - c^2 < 0, luôn đúng

Ta co đpcm

a,b,c > 0

Áp dụng bđt AM-GM : a²+b² \(\ge\) 2ab , b²+c² \(\ge\) 2bc , c²+a² \(\ge\) 2ca 

Cộng theo vế : 2(a²+b²+c²) \(\ge\) 2(ab+bc+ac) => a²+b²+c² \(\ge\) ab+bc+ca

theo bđt tam giác : a+b > c =>c(a+b) > c² =>ac+bc > c²

b+c>a => ab+ac > a²,a+c > b=>ab+bc > b²

Cộng theo vế : 2(ab+bc+ac) > a²+b²+c²