1) \(\frac{\sqrt{12}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-2}-\frac{2-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\)

\(=-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=-2\)

2) \(\frac{10}{\sqrt{6}-1}+\frac{\sqrt{12}-\sqrt{18}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{10\left(\sqrt{6}+1\right)}{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{6}+1\right)}+\frac{\sqrt{6}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\sqrt{6}\)

\(=2\left(\sqrt{6}+1\right)-\sqrt{6}-\sqrt{6}=2\)

CM bđt theo phương pháp tương đương:

Ta có: \(\sqrt{14}-\sqrt{13}< 2\sqrt{3}-\sqrt{11}\)

<=> \(\sqrt{14}+\sqrt{11}< \sqrt{12}+\sqrt{13}\)

<=> \(14+11+2\sqrt{14.11}< 12+13+2\sqrt{12.13}\)

<=> \(\sqrt{14.11}< \sqrt{12.13}\)

<=> \(14.11< 12.13\)

Ta có: 14.11 = 12.11 + 2.11 = 12.13 - 2.12 + 2.11 = 12.13 - 2(12 - 11) = 12.13 - 2 < 12.13

=> 14.11 < 12.13 (luôn đúng)

=> \(\sqrt{14}-\sqrt{13}< 2\sqrt{3}-\sqrt{11}\)(luôn đúng)

\(A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

\(A=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{4+4\sqrt{3}+3}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)

\(A=\left|\sqrt{3}-1\right|-\left|2+\sqrt{3}\right|\)

\(A=\sqrt{3}-1-2-\sqrt{3}=-3\)

\(y=\frac{2x^2+3x+1}{x}\)

hàm số ko phải là hàm bậc nhất

\(b,y=\left(2x-3\right)\left(x-3\right)-2x^2\)

\(y=2x^2-3x-6x+9-2x^2\)

\(y=9-9x< =>\)hàm số là hàm bậc nhất

\(a=-9,b=9\)

\(c,y=-x-\frac{1}{4}\)<=> hàm số là hàm bậc nhất

\(a=-1;b=-\frac{1}{4}\)

Ta có: \(\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{x^8-y^8}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\left[\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4\left(x^4-y^4\right)+8y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^4y^4+4y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4-y^4}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\left[\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2\left(x^2-y^2\right)+4y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2x^2y^2+2y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2-y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y\left(x-y\right)+2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy+y^2}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x-y}=4\)

\(\Leftrightarrow y=4x-4y\Rightarrow4x=5y\)

=> đpcm

Bài 21:

Gọi x (sản phẩm/giờ) là năng suất dự kiến ban đầu của người đó \(\left(x\inℕ^∗\right)\)

=> x + 2 (sản phẩm/giờ) là năng suất lúc sau của người đó

Theo bài ta có phương trình sau:

\(\frac{150}{x}-\frac{1}{2}-2=\frac{150-2x}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow300\left(x+2\right)-x\left(x+2\right)-4x\left(x+2\right)=2\left(150-2x\right)x\)

\(\Leftrightarrow300x+600-x^2-2x-4x^2-8x=300x-4x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x-600=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-20\right)\left(x+30\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-20=0\\x+30=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=20\left(tm\right)\\x=-30\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy ban đầu năng suất người đó là 20 (sản phẩm/giờ)

Bài 22:

Gọi x (sản phẩm/giờ) là năng suất dự kiến của người đó \(\left(x\inℕ^∗;x< 20\right)\)

=> x + 1 (sản phẩm/giờ) là năng suất lúc sau của người đó 

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{80}{x+1}-\frac{1}{5}=\frac{72}{x}\)

\(\Leftrightarrow400x-x\left(x+1\right)=360\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow400x-x^2-x=360x+360\)

\(\Leftrightarrow x^2-39x+360=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-15\right)\left(x-24\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-15=0\\x-24=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=15\left(tm\right)\\x=24\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy năng suất ban đầu là 15 sp/giờ

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ne0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge0+1\\x\cdot\left(1-x\right)\ne0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne0\left(llđ\right)\\1-x\ne0\end{cases}}\)   ( luôn luôn đúng ) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne1-0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne1\end{cases}}\)   

x > 1 

Điều kiện xác định của \(\frac{\sqrt{x-1}}{x-x^2}\)là: 

\(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne0,x\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\).

Gọi số sản phẩm người đó mỗi giờ phải làm theo kế hoạch là \(x\)(sản phẩm), \(x>0\).

Theo kế hoạch người đó hoàn thành công việc sau số giờ là: \(\frac{60}{x}\)(giờ) 

Đổi: \(30\)phút \(=\)\(0,5\)giờ. 

Thực tế mỗi giờ người đó sản xuất được: \(x+2\)(sản phẩm) 

Người đó hoàn thành công việc sau: \(\frac{60}{x}-0,5\)(giờ).

Ta có phương trình: 

\(\left(x+2\right)\left(\frac{60}{x}-0,5\right)=63\)

\(\Rightarrow-0,5x^2+59x+120=63x\)

\(\Leftrightarrow x^2+8x-240=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=12\left(tm\right)\\x=-20\left(l\right)\end{cases}}\)

đk: \(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne0\end{cases}}\)

Mà \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge0\left(\forall x,ytm\right)\)

=> x,y không cùng bằng 0

Vậy \(x,y\ge0\) và \(\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\) hoặc x,y khác 0

A B C O M N X Y P Q R S

Gọi MO,NO cắt đường thẳng BC lần lượt tại R,S.

Xét \(\Delta XAC\): M là trung điểm cạnh AC, MO || AX vì cùng vuông góc AC, suy ra MO đi qua trung điểm XC

Ta có R là trung điểm XC, MN || XC vì MN là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(M\left(CXRN\right)=-1\)

Tương tự thì \(N\left(YBSM\right)=-1\)

Do đó \(M\left(CXRN\right)=N\left(YBSM\right)\) hay \(M\left(QPON\right)=N\left(QPOM\right)\)

Suy ra P,O,Q thẳng hàng.